Bonjour,

qu'as tu fait ?

Je suis entrain de Tabuler la suite 2 min je vous envoie ça

En faite depuis tout à l'heure j'arrive pas à Tabuler

Sur la calculatrice

Si j'ai réussi j'ai trouvé ça mais je suis pas sur :




( je sais qu'on pas le droit au photo mais la c'est juste pour que vous me dites si c'est bon )

Mais je sais pas comment conjecturer s'il vous plaît .

si tu le fais sur un tableur, c'est beaucoup plus clair.

ce que tu as fait sur ta calculatrice est faux.
tu peux t'en rendre compte en calculant toi même, manuellement,
les 3 premiers termes de la suite.

U0  =  2  
U1  =  1/2  * 2   + 4  = 5
U2  =  1/2  *  5   + 4  =  6,5
U3  =  1/2  *  6,5    + 4   =  7,25  
.....

la suite, c'est bien   U_n+1  =  1/2   U_n + 4    n'est ce pas ?

n Un

0 2
1 5
2 6,5
3 7,25
4 7,625
5 7,8125
6 7,90625
7 7,953125
8 7,9765625
9 7,98828125
10 7,994140625
11 7,997070313
12 7,998535156
13 7,999267578
14 7,999633789
15 7,999816895

Oui la suite c'est bien u 0=2 et un+1 =1/2un+4

Du coup pour conjecturer est ce que c'est dire si elle numérique, géométrique, arithmétique ect..

pourquoi "du coup" ?

conjecturer le comportement de la suite, c'est dire si elle est croissante ou décroissante, et est ce qu'elle semble être majorée ou minorée ?

Ah ok moi je trouve que d'après le tableau elle est croissante et majorée , mais je suis pas sur, est ce que c'est bon ?

tu n'es pas sûr ?   elle n'est pas décroissante,   donc oui,  elle est croissante.
Et on dirait qu'elle reste inférieure à 8, donc on peut conjecturer qu'elle est majorée.

Ok merci donc on peux passer à la deuxième question alors

oui  

Prouvons par récurrence que la suite (un) est croissante et majorée en8
Initialisation:
Pour n=0, u0=2 donc u0<8.

Hérédité :
Supposons que pour un certain entier naturel n, un<8.

Alors, un+1=1/2un+4<1/2*8+4=8.
Donc, pour tout entier naturel n, un<8.
Conclusion :
Par conséquent, la suite (un) est croissante et majorée en 8.
Est ce que c'est bon ?

c'est correct, mais tu as raté  la première étape :
montre d'abord qu'elle est croissante.

Initialement
Pour n=0 uo<8
2<8
Mais je sais plu comment montrer qu'elle est croissante .

on te dit de le faire par récurrence
Init :
U0  <  U1   est vrai.

On pose   Un   <   Un+1     et montre que  Un+1 < Un+2

Ah ok donc c'est à dire au début j'ai juste démontrer par récurrence qu'elle est majoré en 8 et maintenant je vais montrer par récurrence qu'elle est croissante

oui

Initialisation :
Pour n=0, u0<u1
2<5 . Alors n est vrai.
Hérédité
Supposons que Un<un+1 et montrons que un+1<un+2
Un<1/2un+4 et 1/2un+4 < 1/2+2+4 mais après je ne sais pas

tu l'as bien fait avec 8, là tu peux faire pareil
on pose  Un     <      Un+1
1/2 Un   + 4      <    1/2  Un+1   + 4
Un+1              <    Un+2
et voilà

Hérédité
Supposons que un<un+1
1/2  un +4      <.  1/2  un+1   +4
   un+1 <un+2
Et 1/2 un+1 +4   <     1/2 un+2  +4

?

je t'ai donné la réponse...   Pourquoi ajoutes tu la ligne
1/2 un+1 +4   <     1/2 un+2  +4   ?


1/2  un +4      <.  1/2  un+1   +4
   un+1 <un+2
tu veux montrer que Un+1  <  Un+2,   tu arrives là, il n'y a rien à ajouter...

NB :
on peut aussi le faire en une seule fois :
init
U0   <  U1   <  8    vrai

on pose    Un    <    Un+1     <  8
1/2Un +4    <    1/2 Un+1    + 4    <   1/2  * 8   + 4
Un+1           <        Un+2            <   8
et voilà.

question suivante : à toi.

La suite ( un) converge vers un réel l  est ce que pour en déduire ça il faut faire un calcul de limite ?

reprends ton cours :
que peux tu dire d'une suite monotone et majorée ?

Si Une suite est monotone et majorée c'est qu'elle est convergente

oui, une suite strictement croissante et majorée   est  convergente.

Mais comment montrer qu'elle converge vers un réel l ?

Il faut vraiment que tu reprennes ton cours..

Quand une suite converge, les éléments de la suite sont de plus en plus proches. L'écart entre deux éléments tend vers 0 quand n tend vers +oo  et ils se rapprochent de la limite l

si tu poses   Un = Un+1   qu'est ce que tu trouves ?

Un=1/2 un+1+ 4

??

ca donne
Un   =   1/2   Un   +4  ,  soit   Un = 8
quand   n --> +oo,   Un --> l ,  d'où l=8

je quitte pour ce soir.  Bonne nuit.

Mercii bonne nuit à vous aussi, merci pour votre aide

Rebonjour  , pourriez-vous m'aider à finir cette exercice je suis à la c) s'il vous plaît .

Bonjour

en attendant Leile
n'as-tu pas un théorème dans ton cours qui avec les hypothèses de la question b) te permettrait de répondre à la question c) ?

Je crois c'est soit le théorème de la convergence soit celui d'une suite monotone

ça ce sont des mots
recopie ici ton théorème dont tu vas te servir

(Un) est une suite qui converge vers un ter l. I est un intervalle tél que l appartient I et pour tout entier naturel n , un appartient à I. Pour toute fonction f définie sur l'intervalle I et continue en l , la suite (f(un)) converge vers le nombre réel f(l).

bonjour à vous deux.
malou, peux tu terminer ? (je ne peux pas rester). Merci.

OK Leile, bonne journée

Mercator, pas du tout
on te dit de montrer qu'elle converge
toi tu pars du principe qu'elle converge
reprends ton cours

On dit qu'une suite numérique (un) admet une limite réelle l si tous les termes de la suite (un) sont proches de l à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente vers l.
Ok alors c'est cette parti du cours dont j'ai besoin .

pas du tout
relis ton exercice ! question b

C'est à dire que vu que elle est croissante et majorée elle converge , c'est ça la réponse ?

oui !
tu devrais apprendre ton cours, tu ne le maîtrises pas assez, donc quand tu lis ton énoncé et l'enchaînement des questions, cela ne te fait pas penser au théorème à utiliser

Convergence des suites monotones ?

Ah non c'est le théorème de la convergence une suite croissante et majorée est convergente

Est ce que pour en déduire la convergence on montre que ça limite est finie ?

peux-tu m'écrire au mot près ton théorème complètement, car normalement tout ce dont tu as besoin pour faire du travail propre y est