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fonctions continues presque partout
bonjour ,
je voudrais demonter cette proposition :
Si deux fonctions C1 sont presque partout egales alors elles sont egales sur tout l'ensemble . ?
Bonjour.
Si les fonctions sont C1, elles sont continues a fortiori.
J'imagine qu'on est sur un intervalle de
(ou un ouvert de
) muni de la mesure de Lebesgue, sinon ça devient faux, voire même ça n'a plus de sens.
Si tes deux fonctions et
sont continues, alors
est un ouvert de mesure de Lebesgue nulle, il est donc égal au vide : la mesure de Lebesgue charge les ouverts non vides, c'est-à-dire que les ouverts non vides sont de mesure non nulle.
Bah soit x dans E, montrons que f(x) = g(x).
Soit xn qui converge vers x, tel que pour tout n f(xn) = g(xn).
Une telle suite xn existe car f et g sont presque partout égales
Par continuité de f et g lim f(xn)= lim g(xn)=f(x)=g(x)
D'ailleurs Co suffit non ?
Akhnor, tu peux expliciter la phrase mesure de lebesgue nulle ? ( j'en ai jamais entendu parlé)
Tu penses que ce que j'ai ecrit comme démonstration est correcte?
Si tu ne sais pas ce qu'est la mesure de Lebesgue, tu ne sais pas ce que veut dire "presque partout", donc je sais pas quelle valeur attribuer à ta démonstration ...
C'est une théorie loin d'être triviale, tu peux regarder sur le net pour te renseigner un peu.
Sinon, effectivement, C0 suffit, c'est ce que j'ai voulu souligner dans mon message.
par intuition je me disais que presque partout signifiait que l'ensemble des points tels que f(x) différent de g(x) était composé de singletons. Donc pas d'ouvert tel que pour tout x dans cet ouvert f(x) différent de g(x)
Mais je vais me renseigner sur cette notion, je pense que ça doit être beaucoup plus rigoureux.
en fait si on montre que cet ensemble {x∈I, f(x) ≠ g(x) } est μ-negligeable alors le probleme est resolus sauf que j'arrive pas a comprendre pourquoi cet ensemble est de mesure nulle (μ negligeable) ?!
"f = g μ-presque partout " est une hypothese , elle n'est vrai que si le complementaire de l'ensomble quand travail avec est μ-negligeable , càd : sa mesure est nulle !
j'ai l'impression que c'est hyper-facile et qu'il y a quelque chose qui m'echappe et que j'arrive pas a voir !!!
Là je comprends plus rien.
Tu fais d'emblée l'hypothèse que sont égales presque partout, que signifie cette hypothèse ?
si μ est une mesure sur un espace mesurable (X,B) , une proposition P(x) dépendant d'une variable est dite vraie μ(dx)-presque partout s'il existe un ensemble mesurable A appartenant à B tel que :
-{x tel que non P(x)} 
A
-μ(A) = 0
Une propriété P(x) est dite vraie presque partout si l'ensemble des points où elle est fausse est négligeable. Ainsi, une fonction f sera égale à une fonction g μ-presque partout si la mesure de cet ensemble {x, f(x) ≠ g(x) } est nulle !
maintenant je veux monter que μ{x, f(x) ≠ g(x)} =0 !! c'est mon objectif !
L'ensemble est mesurable (pourquoi ?) et il est contenu dans un ensemble de mesure nulle par définition du presque partout, donc il est de mesure nulle. (pourquoi ?)
mais c'est justement ça la question ! faudrait que je montre que cet ensemble est mesurable ( inclus dans la tribu B ) et que sa mesure est nulle ! c'est justement ça que j'arrive pas a demonter !
La mesurabilité de l'ensemble ne devrait poser aucun problème, la continuité des fonctions entraîne que c'est un ouvert, donc un borélien.
Ensuite, tu as une propriété élémentaire des mesures qui dit que si et
sont mesurables avec
, alors
...
l'ensenble est borelien ==> {x∈R, f(x) ≠ g(x) } B(R) ==> μ{x
R, f(x) ≠ g(x)} =0 ( car toute partie denombrable de R est de mesure nulle) .
enfiiiin 
mais je me sens un peu bête maintenant 
on travail dans un espace mesurable (X,B) dont B est une tribu (
-algebre )donc tout ensemble inclus dans la tribu est forcement denombrable ( c'est la rasion pour laquelle on travaille avec des tribus dans le cas d'ensemble non denombrable comme dans R ) non ?
euh je suis en licence de maths et je nai jamais vu toutes ces notions c'est normal ??
ps : integré la licence 3 apres 4 ans de pause dans les mathématiques aussi
tout ensemble inclus dans la tribu est forcement denombrable
NON !
euh je suis en licence de maths et je nai jamais vu toutes ces notions c'est normal ??
On aborde la théorie de la mesure en L3. Tu verras sans doute ça au second semestre.
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