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Fonctions Continues-Taylor
Bonjour, je travaille sur un problème portant sur l'étude des fonctions continues mais une question me gêne. Voici l'énoncé.
On note D l'endomorphisme de défini par Df(x)=f(x+1)-f(x-1); pour tout complexe non nul z, on pose
. (Ea ensemble des fonctions vérifiant f(x+1)-f(x-1)=af'
1.J'ai montré que f était infiniment dérivable et que
2.Déterminer les fonctions polynomiales f appartenant à Ea. (On pourra développer f(x+1) et f(x-1) à l'aide de la formule de Taylor appliquée au moyen des dérivées successives de f en x).
Je sèche sur cette dernière question.Pourriez vous m'aider?
Merci et bonne année 2007 à toute l'île 
Bonjour et bonne année Laurierie
L'indication te demande d'appliquer la formule de Taylor pour les polynômes. Il serait donc judicieux de commencer par l'appliquer aux points 1 et -1.
kaiser
Re. Merci Kaiser pour ton indication mais je n'arrive pas à l'exploiter, si ce n'est que j'ai écris la formule de Taylor avec reste intégral .
Merci
Je ne parlais pas de la formule de Taylor générale mais celle pour les polynômes (c'est-à-dire une formule exacte et sans reste integral).
Kaiser
Oui le reste intégral est nul. Mais ensuite en utilisant le fait que f est un polynome je développe la dérivée k ieme de f en 1 et en -1 ?
J'ai
Idem pour f(x-1) en remplacant 1 par -1. Mais apres je suis bloqué tout du moins j'essaie de dévelloper les dérivées d'ordre kieme et utiliser le fait que f appartient a Ea.
Merci pour ton aide
En fait, je crois que j'ai mal lu l'indication. Il ne faut pas faire intervenir les dérivées en 1 et -1 mais en x. 
Kaiser
Or si f appartient a E, alors f' s'exprime comme combinaison linéaire des dérivées 3ème,5eme etc.....Donc si lambda différent de 2 ca ne peut etre un polynome de degré 3.. Il reste a examiner les autres cas..je ne suis pas sure d'etre dans la bonne direction
Merci
Quand tu dis lambda, je suppose que tu veux dire a ?
Tu as déjà écarter le cas n=3 mais on peut pratiquement tout faire d'un coup.
Veux-tu une indication ou alors préfères-tu chercher encore un peu ?
Kaiser
oui a pardon, (j'ai lambda dans mon énoncé). Ben on peut faire pareil pour n=2 mais c'est pour n=1 que je bloque car ca ferait une constante=0 et donc ca donnerait le polynome nul. Or f(x)=a.x marche. Oui je veux bien une indication
Je pense à un résultat que tu as dû voir en sup en algèbre linéaire et qui a un rapport avec les polynômes.
Je sais : c'est très vague ! 
Kaiser
f' s'exprime comme combinaison linéaire des dérivées 3eme,5eme,etc... donc si n=4 par exemple, f' est de degré 3.Or la dérivée 3ieme est de degré 1 ce qui est .
huum pour l'indication je cherche mais j'ai du mal
huum pour l'indication je cherche mais j'ai du mal
Quand je te disais que j'étais resté vague..
Je fais allusion à un résultat concernant les familles libres.
Kaiser
Je me lance: un polynome est nul ssi tous ces coefficients sont nuls??ce qui oblige lambda à etre égal à 2. On cherche "a la main " le cas n=2 et n=1 et n=0 .
En fait, oublie ce que je t'ai dit. C'est mieux comme tu l'as fait.
(Entre parenthèses, le résultat auquel je pensais est que toute famille échelonnée de polynômes est une famille libre. En particulier si P est un polynôme de degré n, alors la famille constituée par les polynômes dérivés de p jusqu'à l'ordre n est une famille libre).
Kaiser
Donc on a=2 et il reste a chercher les polynomes de degré 2 vérifiant la relation (pour n=1 il faut prendre f(x)=2x+C)
Merci pour ta patience
Euh oui décidément je suis vraiment fatigué. Je chercherai le cas n=2 demain, je préfere arréter le massacre pour ce soir.
Pour justifier que n différent de 3 etc...: si n=3,alors le coefficient de plus haut degré est nulle ce qui est absurde.
Merci infiniment, bonne soirée!
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