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fonctions de 2 variables
Bonjour à tous, voila j'ai quelques petits exos à faire et je voudrais etre sur que je fais ce qu'il faut.
1)Est-ce-qu'il existe deux droites qui bordent le domaine de définition de la fonction f définie par ? Est-ce-que le domaine de définition de la fonction précédente est voisinage de chacun de ses points.
Donc pour cette partie d'exercice la, j'ai donc dit qu'on doit avoir x²+y²-3xy
0 donc x²+y²>3xy mais après je ne vois pas trop comment trouver l'équation des droites qui peuvent border le domaine de définition. Pour la deuxième partie de la question je ne comprends pas du tout ce qu'il faut faire.
2)La fonction définie par admet-elle des extremums en chacun des points du cercle de centre O et de rayon 1.
Pour cette question, j'ai calculé les 2 dérivées partielles par rapport à x puis à y (calculer le gradient) et j'ai chercher l'ensemble de solutions qui annule ces deux dérivées. Mais je tombe sur un système énorme que je n'arrive pas à résoudre. Donc je pense que je ne suis pas passé par la bonne méthode. Sinon j'ai pensé traduire la condition du cercle : son équation est x²+y²=1 et peut etre la remplacer dans le gradient pour voir si ca s'annule mais je ne pense pas que cette méthode soit juste.
3)Une fonction de classe C1 sur un disque D dont le gradient est nul en tout point est constante sur D?
ici je pense que comme on peut dériver la fonction qu'une seule fois, comme le gradient est nul (donc les dérivées partielles par rapport à x et à y sont nulles) on peut dire qu'on a une fonction constante.
Voila je bloque sur ces quelques exercices. Merci à tous de votre aide 
1) Il suffit de faire apparaître les racines du trinôme:
x²-3xy+y²=(x-(3+
5)/2)y)(x-(3-5)/2)y)
d'où les droites qui bordent le domaine de définition...
l'origine O (0,0) appartient au domaine de définition, mais celui-ci est-il voisinage de O?
2) Posant u=x²+y²-1 , f(x,y)=u^3 et df/dx=df/du*du/dx et df/dy=df/du*du/dy
Or df/du=3u², donc lorsque u=0 (c'est à dire sur le cercle) df/du=0 et df/dx=df/dy=0; mais df/du ne change pas de signe: les dérivées s'annulent sans changer de signe, il n'y a donc pas extrémum
3) Ok
ok merci beaucoup piepalm.
En fait pour la 1) l'origine sert de contre exemple car Le point O(0,0) appartient au domaine de définition et O n'est pas un voisigage de O (O n'est pas un voisinage de lui-même).
Pour la 2 j'ai bien compris, mais si par exemple on avait eu une puissance 4 au lieu d'une puissance 3, on aurait eu df/du=4u^3. Donc la df/du aurait changer de signe, les dérivées n'annulent en changeant de signe d'ou la présence d'extremums et en plus on aurait eu un extremum local en (0,0). Ai-je bien compris?
Attention, c'est surtout que O étant "au bord du domaine, aucun voisinage contenant O n'est inclus dans le domaine.
Pour le 2, en effet, si l'on avait une puissance paire, le cercle serait un ensemble d'extrema (ce qui est assez évident puisque f serait positive ou nulle, et nulle sur le cercle)
une dernière petite question, le disque unité (défini par D={(x,y)
²,x²+y²
1} je pense) est-il la ligne de niveau d'une fonction définie et continue sur ² ? Et si on a une fonction de classe C1 sur ²?
pensez vous que je dois me rapporter aux définitions des boules...?
Attention une ligne de niveau est de la forme f(x,y)=Cte donc de dimension 1 dans R2, donc ça pourrait petre le cercle unité, mais pas le disque...
Re bonsoir, voila je continue à faire des exercices pour m'entrainer et je voudrais savoir si je ne me suis pas trompé.
1)Extremums de f(x,y)=x²+3y²-3xy+3x+y et de f(x,y)=x²+y²-3xy+3x+y.
a/Pour f(x,y)=x²+3y²-3xy+3x+y : f est de classe C
sur ². Les extremums sont nécessairement des points ou gradf est nul.
Donc j'ai la dérivée par rapport à x qui vaut 2x-3y+3 et celle par rapport à y qui vaut 6y-3x+1. Je fais un système ou ces deux équations s'annulent en même temps. Je trouve une unique solution => un unique point qui est (-7;-11/3). On a f(-7;-11/3)=-37/3. Donc on a un extremum en ce point. Je calcule la valeur en un autre point de la courbe : f(0,0)=0.
Donc de la on peut dire qu'on a un minimum.
b/Pour f(x,y)=x²+y²-3xy+3x+y : f est de classe C sur ². Les extremums sont nécessairement des points ou gradf est nul.
Donc j'ai la dérivée par rapport à x qui vaut 2x-3y+3 et celle par rapport à y qui vaut 2y-3x+1. Je fais un système ou ces deux équations s'annulent en même temps. Je trouve une unique solution => un unique point qui est (9/5;11/5). On a f(9/5;11/5)=19/5. Donc on a un extremum en ce point. Je calcule la valeur en un autre point de la courbe : f(0,0)=0.
Donc de la on peut dire qu'on a un maximum.
2)Pour mes deux autres questions je bloque principalement sur une car je n'ai pas d'idées dessus :
a/Etant données deux fonctions g et h de classe C1 sur ², peut-on trouver une fonction f définie sur ² telle que en tout (x,y) de
².
Ici, on a f et g qui sont de classe C1 sur ², donc elles sont dérivables une fois, donc on peut calculer le gradient et trouver des valeurs non nulles, donc on a forcément une fonction qui peut s'écrire comme cela (je ne vois pas trop comment expliquer).
b/Existe-t-il une fonction f de classe C1 sur ²\{0} dont le gradient vaut en tout (x,y)
(0,0)?.
la je ne vois pas ce qu'il faut dire car ce qu'il y a devant me gene
1 a et b ont l'air justes
Pour 2a attention! si g=df/dx et h=df/dy on doit avoir dg/dy=dh/dx
Applique ça au 2b...
bonjour piepalm, comment procedez vous pour arriver à une telle fonction car je ne trouve pas de x² et y² 
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