Bonjour sirop222

Tout d'abord, il faut se souvenir de la définition de l'adhérence d'une partie.
Autre chose : pourquoi fonction de 2 variables ?

Kaiser

J'oubliais : pour l'adhérence, utilise la caractérisation la plus commode.

Soit B=(a,R) la boule ouverte de centre a et de rayon R,
et B'=(a,R) la boule fermée de centre a et de rayon R.

* Soit x un point adhérent à B. alors il existe une suite (xn) de points de B qui converge vers x, et donc pour tout µ>0, il existe un rang no>0 tel que pour tout n>no, ||x-xn||=< µ
on a donc, ||x-a||=< ||x-xn||+||xn-a||<R+µ
si on tend µ vers 0 on a ||x-a||<R
dinc x appartient à la boule fermée de centre a et de rayon R, et donc l'adhérence de B(a,R) est incluse dans B'(a,R).

*soit x un point adhérent à B'(a,R), il vérifie ||x-a||=<R

si ||x-a||<R rien à faire x appartient à la boule ouverte de centre a et de rayon R et donc à son adhérence car tout élément d'une partie est adhérent à cette partie.
si ||x-a||=R, alors pour tout µ>0, il existe p réel tel que 0<p<Inf(1,µ/R)
et soit m le point tel que m=a+(1-p)(x-a)
il vérifie ||m-a||=(1-p)||x-a||=(1-p)R < R donc m est dans la boule ouverte B.
m vérifie aussi ||m-x||=p||x-a||=pR < µ donc il est dans la boule ouverte de centre x et de rayon µ.
donc toute boule ouverte de centre x et de rayon µ rencontre la boule ouverte de centre a et de rayon R. donc x est adhérent à B(a,R). la boule fermée B'(a,R)  est contenue dans l'adhérence de la boule ouverte B(a,R).
on a ainsi l'égalité.

est ce correct?

Pour le premier point, je suis d'accord.
Pour le second point, c'est bon mais ça me paraît un peu long.
D'abord, un point adhérent à B'(a,r) est dans B'(a,r) puisque la boule fermée est fermée.
Ensuite, lorsque tu t'occupe du cas où , il suffit de construire une suite d'éléments de B(a,r) qui converge vers x.

Kaiser