Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre ProbabilitésTopics traitant de probabilités [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

fonctions de densité et loi de Weibull

Posté par
robby3 09-02-08 à 20:23

Bonsoir tout le monde,
J'ai un exercice qui me pose probleme...

La loi exponentielle ainsi que la loi de Weibull sont souvent utilisé en fiabilité pour modéliser la durée de vie d'une machine (c'est pour ça que les probas sont un peu plus interessantes à mon avis ).
Soit X une variable aléatoire de loi exponentielle E(\lambda) avec \lambda>0 de densité de probabilité f_X donné par:

f_X(x)=\lambda e^{-\lambda.x} si x\ge 0
      = 0 sinon.

1)Calculer l'espérance et la variance de X.
2)Montrer que la propriété caractéristique d'absence de mémoire de la loi expo,à savoir pour tous t,s\ge 0:
P(X\ge t+s|X\ge t)=P(X\ge s)

3)On dit que Y suit la loi de Weibull W(a,\lambda) avec a>0 et \lambda>0 si Y=X^{\frac{1}{a}} ou X suit une loi expo E(\lambda).
La loi de Weibull W(1,\lambda) correspond donc à la loi expo E(\lambda).
Déterminer la densité de proba de f_Y de Y.
4)Calculer l'espérance et la variance de Y.

Alors,j'ai fait 1)
pour le 2) j'ai toujours pas pigé la méthode!

voilà ce que je fais:
P(X\ge t+s\X\ge t)=\frac{P(X\ge t+s)}{P(X\ge t}
aprés blocage?!
j'ai tenté d'écrire P(X\ge t+s)=1-P(X<t+s) de meme pour le dénominateur...ça pas trés bon tous ça.

pour 3),ça m'énerve un peu parce que je pensais savoir faire...

je choisis une fonction mesurable positive bornée quelconque \phi,on calcule
E(\phi(y))=\Bigint_{R^+ ^2}\phi(y).f_X(x) dx.dy
aprés comme y=x^{\frac{1}{a}},
on fait le changement...
mais probleme (sans doute bete) j'arrive pas à avoir dx en fonction de dy...

aprés avoir fait 3) je pense pouvoir faire 4.

Merci d'avance de votre aide!

Posté par
romure : fonctions de densité et loi de Weibull 09-02-08 à 20:43

Salut,

a priori on a plutôt

3$P(X\geq t+s | X\geq t )= \frac{P(X\geq t+s\quad \mbox{et}\quad X\geq t )}{P(X\geq t)}

Posté par
robby3re : fonctions de densité et loi de Weibull 09-02-08 à 20:44

oui mais si t'es superieur à t+s s positif ou nul t'es aussi superieur à t non?

Posté par
romure : fonctions de densité et loi de Weibull 09-02-08 à 20:51

oui c'est vrai,

donc en fait tu veux montrer que

3$P(X\geq t+s) = P(X\geq t)P(X\geq s)

ça sent l'exponentielle, je regarde ça.

Posté par
robby3re : fonctions de densité et loi de Weibull 09-02-08 à 20:54

oui si tu veux...

oui si t'appelles f la fonction tel que f(t+s)=f(t).f(s)
puis f(nt)=f(t)^n...
je crois que tu tombes sur l'expo mais y'a pas d'autres méthodes parce que celle ci...je la maitrise pas trop

Posté par
veledare : fonctions de densité et loi de Weibull 09-02-08 à 22:52

bonsoir,
3)
Y suit la loi W(,)
FY(y)=P(Yy)=P(X1/y) (1)
X suit la loi exponentielle de paramètre
FX(x)=0 si x0
et
FX(x)=1-e-x si x>0
donc d'aprés (1)
FY(y)=0 si y0
et FY(y)=FX(y)=
1-e-(y)     (c'est y puissance mais je n'arrive pas à bien le taper)
pour avoir une densité on dérive la fonction de répartition
fY=0 sur R-
et sur R+*
fY(y)=-y-1)e-(y)

Posté par
veledare : fonctions de densité et loi de Weibull 09-02-08 à 22:55

j'espère que cela t'aidera un peu,j'arrête là car je pars en vacances
bon courage

Posté par
robby3re : fonctions de densité et loi de Weibull 09-02-08 à 23:30

ok!
Merci bien Veleda pour ton aide!

Bonne vacances à toi!!!
Reviens nous vite!

Posté par
robby3re : fonctions de densité et loi de Weibull 09-02-08 à 23:32

peut-on me montrer une méthode autre que l'exponentielle pour la 2)
si c'est possible bien sur


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !