Déja je suppose que tu travaille avec la topologie normale donc que tu prend et le comme seuls ensembles ouvert et fermés dans ce cas tu sais que les ouverts de sont tout les intervalles ouverts donc ]h,v[ est un ouvert et les fermés de sont tous les intervalles fermés donc]h,v[ n'est pas un fermé. Ensuite tu es dans donc c'est un espace vectoriel normé donc pour montré qu'un ensemble est compact il suffit de montré que c'est un fermé borné or la t'on ensemble n'est pas fermé donc il n'est pas compact,voila je pense que cela se tient si ta des questions vas-y.

Ah tu m'éclaircis les idées là je savais pas que

Citation : tu prend et le  comme seuls ensembles ouvert et fermés dans ce cas tu sais que les ouverts de sont tout les intervalles ouverts donc ]h,v[ est un ouvert et les fermés de sont tous les intervalles fermés

Donc merci. mais pour voir si j'ai bien compris

je dirais que [h , v ] est un fermé , un compact mais pas un ouvert

         par contre pour [ h , +linfini [ ? j'aimerais avoir ton avis

karatetiger, tu dis des bêtises (il y a des ouverts dans R qui ne sont pas des intervalles) et tu compliques....

dans les boules ouvertes sont les intervalles ouverts, or tu dois avoir un résultat de cours qui dit que les boules ouvertes sont des ouverts.

Sinon c'esdt clair que si tu prends un point a dans ]h,v[, tu peux trouver un epsilon tel que (faire un dessin).

ce que je voulais dire c'est que si on prend un intervalle ouvert de alors c'est un ouvert de en aucun cas je n'est voulu dire que les seuls ouverts de etaient les intervalles ouverts uniquement, désolé pour la confusion

j'ai en effet un résultat du cours qui dit que les boules ouvertes sont des ouverts.

donc en fait ]h,v[ est un ouvert parce que c'est un intervalle de R donc une boule ouverte okay je comprends bien

et donc pr mes exemples juste au dessus [ h , v ] est une boule fermé dans R donc un fermé et vu qu'il est borné il est compact

par contre pour [ h , + linifni [ou bien ] - linfini , h ] j'aimerais avoir ton avis

karatetiger cependant quand tu dis

oui désolé je me suis mal exprimé

en fait dans mon cours ya pas vraiment de définition d'un ensemble fermé mais il y a une propriété qui suggére que le complémentaire de A un ouvert, est un fermé

il ya plusieurs définition de fermé il ya celle de stokastik il y a celle qui di que l'ensemble est égal a son adhérence il y a la tienne, tu peux aussi ecrire ton ensemble comme une intersection finie ou infinie de fermé alors c'est un fermé

dans mon cours j'ai la même propriété mais pour les ouverts je ne savais pas qu'elle était vraie pour les fermés aussi donc merci je les note

de quel propriété parle tu?car pour les ouvert c'est une reunion infinie d'ouverts qui reste ouverts

une intersection finie d'ouverts est un ouvert

oui cela est vraie et pour les fermés l'intersection peut etre infinie cela reste un fermé

okay je note et si on en revient à mes exemples

H = [ h , v ] est un fermé car il est vraie intuitivement que toute suite convergente de H admet une limite dans H mais comment prouver par exemple qui il est égal à son adhérence ?

tu n'as rien dans ton cours qui te di que l'adherence de ]a,b[ ou de ]a,b] ou de [a,[ ou de [a,b] est [a,b]

à priori non mais maintenant je le sais merci.

autre chose : les ensembles A=[ h, + linfini[ ou ]-linfini, h]  sont donc des fermés vu que toute suite convergente de A aura un limite dans A et pour leur adhérence quelle est-elle ?

si ton ensemble [h,+inf[ est fermé alors son adhérence est lui meme vu que l'adhérence est le plsu petit fermé contenant l'ensemble

Okay je comprends mieux à présent merci

Merci beaucoup à vous deux

de rien bonne continuation pour la suite

Ahh j'ai encore une question résiduelle à propos de la remarque de stokastik

je voudrais bien avoir un exemple au fait que

Citation :  il y a des ouverts dans R qui ne sont pas des intervalles

ba le plus simple est le vide je pense

ah exact lol merci beaucoup

Bonne après-midi à vous

ou alors si tu prend A=]a,b[ c'est un ouvert ensuite tu prend B=]c,d[ lui aussi est un ouvert donc par def tu as AB qui est un ouvert car reunion d'ouvert or AB n'est pas un intervalle de

ah exact merci

Bonsoir j'ai une autre question : comment prouver que H un ensemble fini de E est un fermé ?

Salut,

un ensemble fini est un fermé comme réunion finie de fermés,les singletons de H.

et comment prouver que justement la réunion de fermés est un fermé ?

C'est pas dans ton cours ca?

Quelle est ta définition de fermé?

Sinon par les suites,si une suite à valeurs dans un ensemble fini converge,c'est que nécéssairement elle va être constante à partir d'un certain rang.

euuh la définition de fermé c'est : le complémentaire d'un ouvert est un fermé ou bien une partie de E égal à son adhérence est un fermé

mais plus haut stokastik m'a appris qu'une partie A de E est un fermé un si pour toute suite convergente d'éléments de A admet une limite dans A.

En fait je crois que c'est la définition précise d'une partie finie qui me pose problème. quelle est-elle exactement ?
pour moi c'est un ensemble d'éléments par exemple soit A une partie finie alors A peut s'écrire comme A = { a1, a2,...,an )

Oui c'est bien cela une partie finie.

Ensuite montrer qu'une reunion finie de fermés est un fermé revient à montrer qu'une intersection finie d'ouvert est ouverte.(Tu peux essayer c'est pas très dur et ca te fera manipuler).

Maintenant il te suffirait de montrer qu'un singleton {a_i} est fermé en montrant que son complémentaire est ouvert.

Il faudrait préciser E aussi et la distance que tu mets dessus.

et comment prouver que justement la réunion de fermés est un fermé ?
C'est un axiome.

otto t'es sur que c'est un axiome parce que dans le cours on a prouvé que la réunion d'ouverts est un ouvert donc je me suis dit que pour les fermés ca devaient se prouver ... ???

Ca dépend de ce que tu prends pour acquis comme étant un ouvert mais au départ, mais si tu ne considères pas ces propriétés comme des axiomes, ce n'est pas difficile, il suffit de passer au complémentaire et de récupérer ce que tu as sur les ouverts.
a+