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Fonctions de deux variables

Posté par
Shake 30-05-07 à 23:23

Bonsoir mon problème ce soir est de prouver que f(x,y) définit
par  :   ( x^3 +y^3 )sin(1/(x^3 + y^3)) si (x,y) # 0
         0                              si (x,y) = 0

Prouver si oui ou non f est de classe C1

Posté par
fusionfroidere : Fonctions de deux variables 31-05-07 à 00:18

Salut

Soit 4$f(x,y)=(x^3+y^3)sin(\frac{1}{x^3+y^3}) si 4$(x,y) \neq (0,0) et 4$f(0,0)=0

Le seul problème se situe en 4$(0,0)

Donc montrer que f est de classe 4$C^1 sur 4$\mathbb{R^2} revient à montrer que les fonctions 4$(x,y)->\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) et 4$(x,y)->\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) sont continues à l'origine.

Pour cela, utilise des majorations par des normes.

Comme tu es en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes donc tu choisis celle que tu veux.

Je te conseille tout de même de choisir la norme 2

Posté par
fusionfroidere : Fonctions de deux variables 31-05-07 à 00:20

un modo peut-il latexifier ce que j'ai oublié ? merci

Posté par
fusionfroidere : Fonctions de deux variables 31-05-07 à 07:51

utilise plutôt la norme infini ici

Posté par
ShakeFonctions de deux variables 01-06-07 à 22:42

bonsoir fusionfroide j'ai essayé de majoré les dérivées partielles sans succès  j'ai l'impression que la dérivée partielle par rapport à x est justement non majorée. Ca peut être possible vu que la question initiale est ouverte, faut dire si oui ou non elle est de classe C1 ???

Posté par
fusionfroidere : Fonctions de deux variables 01-06-07 à 23:26

Salut

Promis je regarde ça demain matin

PS : la majoration par des normes permet de montrer que justement ta fonction est continue.

Sinon, pour montrer que ce n'est pas continue, tu as différentes méthodes : approche linéaire, critère séquentiel,...

A+

Posté par
fusionfroidere : Fonctions de deux variables 02-06-07 à 13:21

Je trouve : 4$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=3x^2sin(\frac{1}{x^3+y^3})-3\frac{cos(\frac{1}{x^3+y^3})x^2}{x^3+y^3} et 4$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3y^2sin(\frac{1}{x^3+y^3})-3\frac{cos(\frac{1}{x^3+y^3})y^2}{x^3+y^3}

Tu remarques que les deux expressions sont symétriques.

On montre que 4$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0

Il faut donc montrer que 4$\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\partial f}{\partial y}=0

On a : 4$\frac{\partial f}{\partial x}(x,x)=3x^2sin(\frac{1}{2x^3})-\frac{3}{2x}cos(\frac{1}{2x^3})

Le premier terme tend vers 0 quand x tend vers 0, et le second terme n'a pas de limite !

Donc 4$\lim_{x\to 0} \frac{\partial f}{\partial x}(x,x)\neq 0

Donc f n'est pas 4$C^1 en 0

Posté par
lafol Moderateurre : Fonctions de deux variables 02-06-07 à 15:17

bonjour
juste une petite remarque en passant : ta fonction n'est pas définie si x = -y ?

Posté par
fusionfroidere : Fonctions de deux variables 02-06-07 à 17:54

Salut lafol

Tu as raison : que proposes-tu dans ce cas, car là je sèche !

Posté par
lafol Moderateurre : Fonctions de deux variables 02-06-07 à 17:56

"énoncé mal fichu" !

Posté par
fusionfroidere : Fonctions de deux variables 02-06-07 à 17:57



Je retourne réviser ! A ce soir peut-être

Posté par
ShakeFonctions de deux variables 02-06-07 à 19:19

Ahh exacte si on modifie l'énoncé en mettant x+y différent de 0 et x+y=0
comment résoudre lexo ?

Posté par
fusionfroidere : Fonctions de deux variables 02-06-07 à 19:21

Salut Shake,

Si 4$x \neq -y, ce que j'ai fait est bon, non ?

Posté par
fusionfroidere : Fonctions de deux variables 02-06-07 à 19:29

Allo Shake ?

Posté par
ShakeFonctions de deux variables 02-06-07 à 23:07

Désolé pour la lenteur de réaction mais oui en changeant l'énoncé pour x différent de -y ca marche à mon avis.

je sais pas pourquoi je voulais à tout pris qu'elle soit de classe C1, mais nah j'avais fait la même chose quand tu m'avais proposé d'essayé de majorer les dérivées partielles.

Donc je te remercie et A bientot ...

Posté par
fusionfroidere : Fonctions de deux variables 03-06-07 à 00:01

Je t'en prie


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