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Fonctions de deux variables

Posté par
Crevett 02-05-08 à 19:28

Bonsoir!
J'ai un peu de mal (euphémisme...) avec mon DM sur les fonctions à deux variables dont voici une des premières questions:

Soient D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,x^2+y^2\le1\}), et f\in C^1(D,\mathbb{R}) telle que \forall (x,y)\in D,|f(x,y)|\le1.  Montrer que:

\exists (x_0,y_0)\in D, (\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0))^2+(\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0))^2\le 16 .

Conseil: considérer g(x,y)=f(x,y)+2(x^2+y^2).

Voilà,si vous pouviez me donner des pistes sur comment démarrer...
Merci d'avance!

Posté par
Crevettre : Fonctions de deux variables 03-05-08 à 15:21

J'me permets de
et de préciser ma question:
comment fait-on pour prouver que l'on peut généraliser le théorème des bornes (si une fonction est continue et bornée sur un segment, alors elle atteint ses bornes sur ce segment) aux fonctions de deux variables?
J'ai essayé en introduisant des applications partielles, mais j'ai du mal à m'en sortir...en fait il faudrait que j'arrive à montrer que l'application x\mapsto max f(x,.) est continue...
Bref si vous pouviez m'aider...Merci d'avance!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Fonctions de deux variables 04-05-08 à 12:03

Bonjour,

je parviens à démontrer le résultat annoncé, mais sans me servir de g:

remarque dans un premier temps que la norme d'applications linéaires sur L(R²,R) subordonnée aux normes euclidienne sur R² et usuelle sur R est la norme 2, autrement dit:

si (a,b) est la matrice ligne d'une application linéaire u de R² dans R munis de leurs bases canoniques, alors la norme infinie de u est \sqrt{a^2+b^2.}

(Preuve: poser a=r.cos x, b=r.sin x, et étudier le maximum lorsque (z1,z2) est de norme 1 de |r.cos x.z1 + r.sin x.z2| en posant z1=cos y et z2=sin y puis les formules d'addition.)




Par l'absurde, supposons alors que: \forall%20(x_0,y_0)\in%20D,%20(\frac{\partial%20f}{\partial%20x}(x_0,y_0))^2+(\frac{\partial%20f}{\partial%20y}(x_0,y_0))^2>%2016





D'après ce qui précède, ceci est la norme infinie de la différentielle en (x0,y0) de f (qui existe par hypothèse).

Autrement dit, la condition s'écrit: \forall(x_0,y0)\in D,\; ||df_{(x_0,y_0)}||_{\infty}>16




f étant de classe C1, les IAF entraînent que: \forall(x,y)\in D\times D,\;|f(x)-f(y)|>16||x-y||.




En particulier, si on choisit x et y tels que ||x-y||=1, il vient |f(x)-f(y)|>16




ce qui est contraire à l'hypothèse puisque par inégalité triangulaire,



\forall (x,y)\in D\times D, |f(x)-f(y)|\le |f(x)|+|f(y)|\le 2.


CQFD

Posté par
Tigweg Correcteurre : Fonctions de deux variables 04-05-08 à 12:05

Bon, bien-sûr il s'agissait du carré de la norme infinie de la différentielle, ce qui entraîne que cette norme infinie est en fait minorée par 4, désolé!

La contradiction reste la même.


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