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fonctions de plusieurs variables

Posté par lechoriste (invité) 10-03-07 à 16:38

Re bonjour à tous!!
voila je fais encore un petit exercice mais je ne suis pas du tout sur que la méthode que j'utilise est rigoureuse!

J'ai N un entier strictement positif et on définit fN: (+*)N+* par :
f_N(x_1,...,x_N)=\frac{1}{N} \bigsum_{i=1}^N \frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}}, avec les indices pris modulo N.
1)je dois calculer pour tous a,b>0, fN(a,b,a,b...,a,b)

2)Soit c]-1,1[. Pour tout 1iN, on pose xi=1+(-1)ic+i, avec =(1,...,N) un petit vecteur de N.
Je dois montrer que (\frac{\partial}{\partial \eta _i})_{\eta=0} [f_N(x_1,..,x_N)]=0
On me dit que je peux écrire un DL de fN en termes des i ou calculer les dérivées partielles.

3)Je dois trouver une forme quadratique Q:N telle que:
f_N(x_1,..,x_N)=\frac{1}{2}+\frac{1}{N}Q(\eta _1,...,\eta _N)+o(|\eta|^2).
On me dit qu'on peut écrire un DL de fN ou calculer toutes les dérivées partielles de fN à l'ordre 2.

Alors pour le moment j'ai fait:

1)a,b>0.
f_N(a,b,a,...,a,b)=\frac{1}{N} \bigsum_{i=1}^N \frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}}
=\frac{1}{N}(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{a}{a+b}+...+\frac{b}{a+b})
=\frac{1}{N(a+b)}\frac{N}{2}(a+b)
=\frac{1}{2}
bon je pense que ca fait 1/2 mais ma facon de justifier est un peu harzardeuse à mon avis!

2)je ne vois pas trop quoi faire en fait, je pense plutot passer par le calcul des dérivées car les DL m'inspirent pas trop ici.
En fait j'ai dit que:
(\frac{\partial}{\partial \eta _i})_{\eta=0} [f_N(x_1,..,x_N)]=(\frac{\partial}{\partial \eta _i})_{\eta=0} [\frac{1}{N} \bigsum_{i=1}^N \frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}}]
et après dériver mon quotient en utilisant l'expression de xi qu'on me donne!

Voila si quelqu'un peut me dire si je fais bonne route!
merci à tous

Posté par
raymond Correcteurfonctions de plusieurs variables 10-03-07 à 16:58

Bonjour.

J'ai effectué le calcul pour N = 3, f3(a,b,a) ne donne pas 1/2. Ou alors, je n'ai pas bien compris comment les indices sont congrus modulo N.

A plus RR.

Posté par lechoriste (invité)re : fonctions de plusieurs variables 10-03-07 à 17:44

bonjour,
congru ici ca veut dire que xN+1=x1 et apparement on doit bien trouver 1/2.
je pense que ca marche mais je ne sais pas si la facon dont j'ai montré ca est correcte!

Posté par
Camélia Correcteurre : fonctions de plusieurs variables 10-03-07 à 17:45

Bonjour à tous les deux
Il est clair qu'il y a un problème de parité pour N. On ne peut écrire f(a,b,...a,b) que si N est pair.

Posté par lechoriste (invité)re : fonctions de plusieurs variables 10-03-07 à 17:55

oui pardon j'ai oublié de le préciser! N est pair bien sûr désolé

Posté par
Camélia Correcteurre : fonctions de plusieurs variables 10-03-07 à 17:56

Alors ta démonstration m'a l'air correcte.

Posté par lechoriste (invité)re : fonctions de plusieurs variables 10-03-07 à 17:58

ok merci ^^.
Par contre pour ma deuxième question je pars sur la bonne voie car avec le DL je n'y arrive pas donc je vais passer par les dérivées partielles!

Posté par
Camélia Correcteurre : fonctions de plusieurs variables 10-03-07 à 18:02

A première vue, comme au dénominateur les c vont disparaître, j'essayerai un DL. Mais ne l'ayant pas fait... Un conseil: ecris tout pour N=4, tu y verras plus clair!

Posté par lechoriste (invité)re : fonctions de plusieurs variables 10-03-07 à 18:24

ok merci je vais quand même essayer de passer par le DL alors même si je trouve ca plus compliqué à mon gout ^^
Je posterai ce que j'ai fait!

Posté par lechoriste (invité)re : fonctions de plusieurs variables 13-03-07 à 19:04

C'est bon j'ai enfin réussi à faire la deuxième question!
mais par contre je n'arrive pas à faire la troisième !!
Je ne vois pas trop comment on obtiens la forme quadratique demandée


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