Bonjour puisea

Pour ce genre de chose, c'est toujours la même chanson : comme on veut montrer la continuité en 0, alors il faut majorer |f(x,y)| par quelque chose qui tend vers 0 (par exemple, en utilisant la norme du couple (x,y) pour une certaine norme).
Pour la caractère , il faut d'abord, vérifier si la fonction admet des dérivées partielles en (0,0), ensuite, il faut calculer les dérivées partielles hors du point (0,0) et vérifier leur continuité.

Kaiser

Bonjour Pierre,

Cette fonction est continue car |f(x,y)||xy|, donc elle tend vers 0 quand (x,y) tend vers (0,0).

Une relation à connaitre qui donne d'excellents résultats pour tout ça est la suivante: pour (x₁,...,x_n) tendant vers (0,...,0)



tend vers 0 quand a₁+...a_n>2b
n'a pas de limite mais est bornée pour a₁+...a_n=2b
et n'est pas bornée pour a₁+...a_n<2b.

Salut kaiser

Salut Camélia !

Bonjour Camélia, et Kaiser.

Merci pour vos réponses, je retiens la formule Camélia


Si je considère par exemple une autre fonction :



C'est le même principe : . Donc c'est continu en 0 avec f(0,0)=0.

Un autre cas plus délicat :

Si on a f, une fonction de classe sur R, à valeurs réelles. On considère l'application définie sur R² privé de l'axe des ordonnées par :



Comment montrer que g est de classe ?

Si on considère F, primitive de f, on a :

g(x,y) = 1/x(F(xy)-F(x))

Mais pour les dérivées partielles ?

Merci

Lorsque tu majores, n'oublie pas les valeurs absolues.

Sinon, pour la fonction g, pour x non nul, il n'y a plus de problème (ta fonction est de classe par les théorèmes généraux).

Kaiser

Attention!

Ton dernier f n'est pas majoré par xy³! dans l'exo précédent, on avait majoré le sinus par 1.
C'est quand même vrai que f est continue, car le dénoùinateur est "en gros de degré 2 et le numérateur de degré 4. Il faut arranger ça.

Pour g: C'est la bonne idée d'introduire une primitive F. Les dérivées partielles par rapport à y ne posent pas problème, et par rapport à x, il n'y a que le cas x=0 qui est douteux. On veut donc la limite pour y fixé et pour h tendant vers 0 de (g(h,y)-g(0,y))/h (je suppose que maintenant tu as la valeur de g(0,y)). Alors?

Exact pour les valeurs absolues

g n'est pas définie en (0,0) mais je ne vois avec autant d'évidence comment elle est de classe sur son ensemble de définition, pourrais-tu expliciter les théorèmes auxquels tu penses ?

"On considère l'application g définie sur R² privé de l'axe des ordonnées".

> Donc j'en déduis que g n'est pas définie en (0,0).

Besoin d'une précision sur ma dernière fonction f :

Qu'est-ce qui différencie la fonction :



qui est continue en (0,0),

et la fonction



Parce que si je raisonne sur les degrés, ca colle pas...

f' n'étant pas continue en (0,0).

J'ai oublié de dire que dans les deux cas, on a f(0,0)=0 et f'(0,0)=0 de posés.

pour f, le degré au dessus, c'est 4 alors que pour f, le degré du numérateur c'est 2.

Kaiser

Ah oui d'accord, on considère le degré de cette manière. Je l'avais pas vu comme ca.

D'ailleurs comment montrer que f' n'est pas continue en (0,0) ?

Autre chose, est-il correct et suffisant de majorer f comme je l'ai fait dans mon post de 15h30 (en rajoutant les valeurs absolues à droite) ou bien faut-il procéder d'une autre manière comme le suggère Camélia ?

Ok pour la méthode, j'ai compris.

Je vois pas trop comment faire tendre (x,y) vers (0,0 de deux façons différentes du fait qu'au numérateur il y a un produit... Donc on peut pas en fixer un à 0 pour faire tendre l'autre.

Pour la majoration, je vais chercher ca

Sinon, par où commencer pour démontrer la formule de Camélia ?

Merci Kaiser

Oui effectivement ca fait une manière, mais je veux dire par là que l'on peut par exemple pas faire comme pour une fonction du style :



où l'on peut successivement fixer x puis faire de même avec y.

Donc dans mon cas, je ne vois pas de deuxième méthode. Et il ne me semble pas avoir encore vu de méthode autre que celle qui consiste à fixer une des deux variables.



Pour la formule de Camélia, oui c'est ca.

oui mais il y a d'autre manières d'approcher (0,0) (par exemple par des droites passant par (0,0)).
Le fait de fixer l'une des variables, est lié au fait que l'on approche (0,0) par deux droites (les axes de coordonnées).
Il y a une autre droite qu'on peut utiliser (la plus simple possible).

Sinon, pour la formule de Camélia, c'est le même style que les exercice habituels ( majoration, pour prouver la continuité, approcher 0 de plusieurs manières différentes pour prouver la non continuité, etc..)

Kaiser

Je suppose que tu parles de la première bissectrice du plan R², mais je ne vois pas comment "approcher (0,0) selon cette droite". Pourrais-tu m'expliquer ?

Ok pour la formule. Mais dans le cas où ca ne converge pas, comment montrer la divergence ? Pour le cas où c'est borné, je suppose que l'on peut trouver une majoration qui est elle même bornée. Ceci étant dit, comme pour mon post de 15h45, je ne vois pas comment majorer... ou alors on peut majorer par une fonction qui à au dénominateur des degrés plus petits, mais cela n'aide pas à se ramener à un majorant qui tende vers 0 (à moins qu'il n'y ai une fonction simple à laquelle on peut se ramener et qui converge, mais je ne vois pas).

Merci.

Souvenirs, souvenirs...

J'adore le calcul diff.
Tu vas voir puisea, tu vas devenir accro aussi

D'accord, j'ai compris !

Merci Kaiser

fusionfroide >
puisea > je t'en prie !

Kaiser

Salut fusionfroide !

J'espère bien

C'est de nouveau moi, je voudrais juste revenir rapidement sur le calcul des normes infinies avant que je reparte à l'internat.

Pour :



Initialement je pensais à :

à

et en faisant dans le même genre avec le dénominateur on en arrive à majorer par quelque chose en x uniquement, mais au final c'est idiot puisque l'on peut très bien considérer y = x² et du coup, cela change tout... Serait-il donc possible d'avoir une explication pour le calcul d'une norme infinie avec plusieurs variables ?

Je ne comprends pas bien ton égalité.
pour la norme infinie, on pose .

On a donc .
on a aussi .

Du coup,

Kaiser

En fait il n'y a rien à comprendre, ce n'était que pure invention de ma part étant donné que je ne voyais pas trop comment m'y prendre avec plusieurs variables.

Maintenant que je sais qu'il faut poser , je comprends beaucoup mieux !

Merci beaucoup Kaiser, allez maintenant je retourne à l'internat pour une nouvelle semaine

@+

je t'en prie !
à bientôt sur l' !