Bonjour tout le monde, mon problème concerne justement ces fonctions définies par une intégrale, où les bornes aussi sont variables ce qui complique les choses ...

Voila mon pb

Soit f la fonction définie sur ]0;+[ par f(x) = e^-t² /t  dt     de x à x²

1.Montrer que f est bien définie

2.Etudier son signe

3.Comparer les rééls f(x), e^-x²1/t dt de x à x²  et exp(-x⁴)1/t dt de x à x². Calculer 1/t dt de x à x² .
Déterminer  les limites de f en 0⁺et en +

4.Calculer f'. Monter que f' s'annule une seule fois sur ]0, +[ en un réel que l'on determinera. Etudier le signe de f'. Dresser le tableau de variation de f.


Je crois avoir reussi 1 et 2 (pas trop le 2) mais le 3 j'ai un mal fou a comparer

1.  la fonction e^-t² /t est définie t 0 elle est donc bien def sur ]0;+oo[ et est continue sur ]-oo; o [ et ]0 ; +oo[

x et x² sont défines et continues sur

donc f est bien définie sur ]0;+oo[

2. x<x² et e^-t² /t >o t > 0 ( car exp est une fonction strictement >o et t>o sur ]0 ; +oo[)

Donc f(x)>0 sur son ensemble de définition.

3.

e^-x²1/t dt de x à x²  > exp(-x⁴)1/t dt de x à x².  car -x²>-x⁴

mon problème c'est que je n'arrive pas à comparer f(x) avec ces deux valeurs


1/t dt de x à x² = lnx²-lnx = lnx