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Fonctions et intégrabilité
Bonjour : je vous propose un exercice d'oral sur l'intégrabilité.
Soit f une fonction continue.
On définit F(x) =
(f(t)cos(2
xt)dt) (une intégrale sur R évidemment)
1/ Trouver une condition nécessaire pour que F soit C
. C'est OK
2/Soit A
. On suppose f nulle en dehors de [0,A]. Montrer que s'il existe un ouvert sur lequel F est nul, alors F est nul, puis f est nulle.
Ma démarche : j'ai voulu utiliser la densité des polynômes dans les fonction continues.
Ayant F C, en dérivant deux fois on obtient à chaque fois que : 
n 
(t2nf(t)) = 0. Ainsi je montre que pour f paire on a l'existence d'un polynôme dont tous les monômes sont de degrés pair qui converge uniformément vers celui-ci. Mais là où ça coince c'est de démontrer que (t2n+1f(t)) = 0 est également nulle , pour pouvoir démontrer le résultat pour les impairs et conclure par la décomposition de toute fonction en paire + impaire.
Si quelqu'un a une idée merci de m'aider.
Cordialement.
?
Bonjour, hatimy.
Je suppose que tu as déjà réussi à démontrer que F est identiquement nulle (en utilisant le fait que F est développable en série entière au voisinage de tout point ...).
On construit alors f1 2A-périodique, paire, dont la restriction à [0,A] est égale à f. Alors, les coefficients de Fourier réels sont tous nuls :les b_n(f_1), c'est évident puisque f_1 est impaire: les a_n(f1), on reconnaît, à un coefficient près, des valeurs de F.
Alors, par le théorème de Parseval, f1 étant continue, f1 est nulle.
Ce qui entraîne que f est nulle.
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