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Fonctions et maximum :s
Bonjour,
j'ai un pti soucis avec un problème.
Le but est de montrer que :
- la fonction f(x) = 
cotan(x)
et
- la série de fonction gn(x) = 1/x + 
(de 1 à n) 2x/(x²-k²)
sont égales.
Pour ça on cherche a montrer que la fonction h = f-g est nulle
J'ai déjà montrer que les 3 fonctions f, g et h sont :
- définies/continues sur R-Z
- impaires
- 1-périodiques
et
- qu'elles vérifient h(x/2) + h((x+1)/2) = 2h(x) (1)
(on peut remplacer h par f ou g).
Enfin en posant h(x) = 0 pour x
Z j'ai montré que h était continue.
Je suis bloqué pour les 2 questions suivantes :
1) Montrer que h atteint un maximum m sur [0;1]
(J'ai essayé de dérivé ça me donne un truc compliqué qui logiquement devrais etre constant vu qu on veut montrer que la fonction est nulle. Je ne vois pas comment faire autrement :s)
2) Montrer que ce maximum est atteint en 0
Indication : -Utiliser l'équation fonctionnelle-.
(Le terme équation fonctionnelle ne me disait pas grand chose.. je suis allé voire la définition et je ne trouve pas gd chose a faire à part utiliser (1) mais ça ne me donne rien)
Si vous avez des idées merci d'avance !
Bonjour Kaiser merci de répondre ^^,
j'avais pensé a la continuité mais ça me semble un peu trop simple et aps très rigoureux...
On sait que h(0) = 0, h(1) = 0 et que la fonction est continue
donc elle atteint obligatoirement un maximum sur l'intervalle [0;1]
(Pour moi si une fonction est continue elle a forcement une valeur maximal. Mais est ce que le fait de dire qu'elle ne tent pas vers l'infini suffit a dire qu'il y a un maximum ?)
Mais c'est pas terrible, il pourrais y avoir plusieurs maximums (dailleurs ici tout les points doivent être maximum pour que la fonction soit nulle...)
C'est un théorème : toute fonction réelle continue sur un segment (et plus généralement sur un compact) est bornée et atteint ses bornes.
Kaiser
Arf honte à moi...
Je trouve quelquechose pour la 2 mais un truc cloche.
En partant de l'équation fonctionnelle (si le max est atteint en a) :
2h(a) = h(a/2) + h((a+1)/2)
cela veut donc dire soit :
* h(a) = h(a/2) = h((a+1)/2)
soit
** ( h(a) < h(a/2) ou h(a) < h((a+1)/2) )
ce qui est impossible car le max est atteint en a.
on a donc h(a) = h(a/2) = h((a+1)/2)
Le problème est qu'à partir de là je ne peut pas dire : " a = a/2 ==> a = 0" car le max est peut être atteint en plusieurs points.
J'ai essayé un raisonnement par l'absurde en supposant que 0 n'était pas maximum mais ça ne donne rien non plus.
Si vous avez une idée.
En fait, je crois que l'on n'a pas besoin de raisonner par l'absurde.
Tu viens de montrer que si h admet un maximum en a, alors h en admet un en a/2, donc un en a/4 etc..
Je te laisse continuer.
Kaiser
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