Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Fonctions et suites
Bonjour, une partie d'un exercice me pose probleme, pourriez vous m'eclairer?
Soit f une fonction definie sur R, telle qu'il existe un reel k €]0,1[ verifiant:
!f(x).f(x')! est inferieur à k*!x-x'! (!: valeur absolue)
1)Montrer que la fonction f est continue en tout point b de R.
2)Soit a € R. On considere la suite xn€N definie par :
x0 =a
xn+1 =f(xn)
a) monter que l'in a !xn+1-xn! inf à kn!x1-x0!.
Les qustions suivantes de l'exercice ne me posent pas probleme donc je ne les poste pas.
Merci
Bonsoir vespissimo
Pour démontrer que f est continue en tout point b. Tu écris que |f(x)-f(b)|
k|x-b|. Ensuite, il ne reste plus qu'à passer à la limite quand x tend vers b. Tu en déduiras que f est continue en b, pour tout réel b.
Pour la 2)a), utilise la récurrence.
Voilà
Kaiser
merci Kaiser je n'était pas sur que je pouvais considérer x' comme b.
Pour la seconde je pensait effectivement utiliser la reccurence.
en supposant l'enoncé vrai je demontre que
!xn+2-xn+1! inf à kn+1!x1-x0!.
equivalent à !F(x)-f(x)!...
et la je bloque.
J'ai pas trop compris ce que tu voulais là. De plus, est-ce que F=f (faute de frappe, peut-être ?).
Kaiser
En effet je me suis trompé.
Je ne vois donc pas du tout comment utiliser la reccurence dans cet exercice!
Merci si vous pouviez m'aider...
Bonsoir vespissimo
faisons la récurrence.
Au rang n=0 : |x1-x0|=k0|x1-x0|k0|x1-x0|
donc la propriété est vraie pour n=0
Hypothèse de récurrence : |xn+1-xn|kn|x1-x0|
Au rang n+1 : Montrons que |xn+2-xn+1|kn+1|x1-x0|
|xn+2-xn+1|=|f(xn+1)-f(xn)|k|xn+1-xn| (d'après les hypothèses de l'énoncé)
Par hypothèse de récurrence, on a |xn+1-xn|kn|x1-x0|
donc on en déduit que |xn+2-xn+1|kn+1|x1-x0|
Ainsi la propriété est vraie pour tout n.
Voilà
Kaiser
merci, et desolé de vous avoir demandé des choses aussi simples!
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac