Bonjour,
voici un exercice de dm que je n'arrive pas à finir de résoudre.

but de l'exercice : déterminer l'ensemble E de toutes les fonctions f vérifiant f continue en 0 et quelque soit x réel f(2x)=f(x)*cosx (H)

1. Montrer que si f vérifie (H) alors pour tout réel x on a :
f(x)=f[x/(2^n)]cos(x/2)cos(x/4)...cos[x/(2^n)]

Récurrence simple

2. Montrer que pour tout réel x on a :
sinx=2^n*sin[x/(2^n)]*cos(x/2)*cos(x/4)...cos[x/(2^)]

Récurrence simple

3. En déduire que la fonction f s'écrit sous la forme : f(x)=f[x/(2^n)]*sinx/[sin[x/(2^n)]*2^n]

quelque soit x réel f(x)=f[x/(2^n)]cos(x/2)cos(x/4)...cos[x/(2^n)]
Donc f(x)=f[x/(2^n)]*sinx/[sin[x/(2^n)]*2^n] si x/(2^n) k soit x 2^n*k avec k entier relatif.

4. En utilisant des équivalents trouver la forme des fonctions f vérifiant (H).

5. En considérant les fonctions fa définies par : fa(x)=a*sinx/x si x différent de 0 et fa(0)=a.
Montrer que ces fonctions vérifient (H).
En déduire l'ensemble E cherché.

quand x tend vers 0 par valeurs inférieures, lim fa(x)=lim a*sinx/x=a=f(0)
quand x tend vers 0 par valeurs supérieures, lim fa(x)=lim a*sinx/x=a=f(0)
Donc fa continues en 0.

si x=0 : fa(2*0)=fa(0)=a et fa(0)*cos(0)=a donc fa(2*0)=fa(0)*cos(0)
si x différent de 0 : fa(2x)=a*sin(2x)/(2x)=a*2*sinx*cosx/(2x)=a*sinx*cosx/x=f(x)*cosx

Donc les fonctions fa vérifient (H).

Pourriez vous m'aider pour la question 4 et la fin de la 5?
Merci.