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Fonctions/Géométrie
ABCD est un carré de côté 4cm, M un point de [AB] et N le point de [AD] tel que AM=DN. P est le point tel que AMPN est un rectangle.On pose AM=x et on note f la fonction qui à x (0
x4)associe l'aire f(x), en cm², du rectangle AMPN.
1) Prouvez que f(x)=4x-x².
2) Sur l'image ci-joint
, est affichée la courbe P de f.
a) Conjecturez la valeur qui rend l'aire maximale.
b)Prouvez que f est strictement croissante sur [0;2] et décroissante sur [2;4].
c) Dressez le tableau de variation.
Trouvez alors la position de M sur[AB] pour lasuelle l'aire du rectangle est maximale.
3) On désire retrouver ce résultat par le calcul.
a) Prouvez que f(x)=4-(x-2)²
b) Déduisez-en la valeur de x rendant l'aire maximale et la valeur de cette aire.
Je suis vraiment désolé pour la longueur de l'exercice mais je suis vraiment perdu de chez perdu! 
édit Océane : figure insérée sur le serveur de l'
Salut juju_123
1.
A(AMPN)=AM*AN=x(4-x)=4x-x²
2.a.
La maximale de l'aire est de 4cm² et est donnée pour x=2.
2.b.
Soit a<b avec a et b appartenant à [0;2].
On montres que f(a)<f(b)
donc f est strictement croissante sur [0;2].
De meme sur [2;4] en prenant a et b, on montres que f est strictement decroissante.
2.c.
x 0 2 4
----------------------------------------------
f croissante 4 decroissante
f(2)=4
donc f est maximale pour x=2 et vaut 4.
3.a.
En développant 4-(x-2)², on a:
4-(x-2)²=4-(x²-4x+4)=4x-x²
donc f(x)=4-(x-2)².
3.b.
f est maximale lorsque (x-2)² s'annule donc f est maximale pour x=2 et f(2)=4 donc l'aire maximale vaut 4cm².
Joelz
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