Salut Cauchy

Regarde ici ! Analyse complexe

Kaiser

Merci bien kaiser

Mais je t'en prie !
_{Bonne lecture !}

Il y a plusieurs preuves en plus c'est cool, tu sais comment on montre le tout dernier résultat cité par otto?

ça, je n'en ai aucune idée.
Selon otto, ça n'a pas l'air franchement évident mais je vais y jeter un oeil
(on ne sait jamais ! ).

Kaiser

Il y a quelque chose que je ne vois pas,comment il en deduit directement que 1/g est bornée?

On a juste 1/g majoré en module par un polynome plutot donc c'est un polynome et ensuite f en est par suite aussi un ou alors j'ai encore manqué quelque chose?

Qui ça il ? otto ou Tigweg ? (quel message ?)

Kaiser

Otto son premier message de 14h21 à la fin.

En fait, si l'on arrive à montrer que |g| est minorée par une constante strictement positive, alors c'est gagné, seulement je crois que ceci n'a pas été démontré (en effet, si tu regardes vers les derniers messages, je croyais aussi que Tigweg l'avais démontré, mais en fait, il m'avait affirmé que non).

kaiser

Ok merci c'est bien ce qui me semblait.

Sinon encore une petite question,il faut connaitre quelles notions pour demontrer le théorème de Picard?

Celui qui concerne les singularités essentielles ?
En tout cas, je ne saurais pas te dire puisque le prof qui nous faisait le cours nous en a seulement parlé, donc pas de démonstration.

Kaiser

Celui qui dit que l'image de tout voisinage d'une singularité essentielle est C ou C privé d'un point et (que chaque point est visité une infinité de fois si t'as sans ca,ca m'interesse aussi).

Et il y a l'autre  celui qui dit que toute fonction holomorphe a pour image C ou C privé d'un point.

Enfin ma question porte sur les deux je ne connais pas de démo pour l'un ou pour l'autre.

Je remonte

Bonjour Cauchy
Je peux te donner une démonstration d'un théorème dû à Weierstrass qui dit que l'image de chaque disque pointé centré sur une singularité essentielle est DENSE dans C. C'est beaucoup moins fort que Picard, mais Picard est beaucoup plus dur à démontrer. A ma connaissance, on ne l'a jamais enseigné dans une licence ou une maitrise généraliste.

Salut Camelia,

la demonstration n'utilise des choses qu'on voit qu'en M2 si j'ai bien compris?

Pour le theoreme de Weierstrass ca ira je l'ai dans mon cours de l'année dernière.

Le petit théorème de Picard se démontre de diverses facons. Il y'en a une que je considère comme plus naturelle, qui est celle passant par les revêtements universels et le théorème d'uniformisation.
Cependant ce résultat est fortement non trivial !
En gros, dans C, tu n'as que deux domaines simplement connexe (à isomorphisme analytique près) qui sont C lui même et le disque. En fait, on peut même dire, C et les autres.
Si tu te donnes une surface de Riemann, (en gros: variété réelle et connexe de dimension 2 avec fonctions de transitions holomorphes. Si tu veux ce sont des recollement de petits ouverts de C) qui de plus est simplement connexe, alors il n'en existe que 3:
Le plan C
La sphère de Riemann S
Le disque unité (hyperbolique).

Donne toi un espace topologique X qui a certaines propriétés relativement courantes. De mémoire, je crois que l'on demande la semi locale simple connexité, la connexité et la connexité par arcs locale. Dans ce cas, tu peux trouver un espace topologique Y et une application p telle que Y soit simplement connexe, telle que p soit continue et surjective de Y sur X. En gros, c'est comme si tu voyais X sous un angle qui le rende simplement connexe, ou plutot, c'est comme si X était une mauvaise vision de Y.
Imagine toi un cercle X. C'est non simplement connexe. En fait, ton cercle X peut être vue comme la projection sur un certain plan d'une hellicoide Y. Y est elle simplement connexe.
On dit que p (ou le couple (p,Y)) est un revetement universel de X.
Bref, en gros, toute surface de Riemann compact n'admet que 3 revêtement universels distincts:
C
la sphère S
le disque unité D.

Si tu joues un peu sur les propriétés du domaine que tu cherches à "relever", tu peux facilement (toute proportion gardée) trouver quel revêtement est le bon.
En gros c'est ce que fais le petit théorème de Picard. S'il existe une application entière non constante qui évite 2 nombres complexes, alors tu peux la relever et construire une application qui est entière non constante et a valeur dans le disque unité, ce qui contredit le théorème de Liouville.

Je n'ai fait que te donner brièvement le squelette de la preuve, il faudrait que tu suives un cours complet sur les surfaces de Riemann pour saisir les subtilités de la preuve.

Amicalement,
otto

Merci pour ta réponse otto, effectivement j'y connais rien en surfaces de Riemann et revetements donc ca va etre difficile.

Il existe des preuves ne nécessitant aucune connaissance en la matière.
Tu en trouveras notamment une dans le livre de Ahlfors : complexe analysis.
Tu retrouves la même dans le Rudin "Real and complexe analysis".
a+