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Fonctions holomorphes

Posté par
fusionfroide 16-02-07 à 00:00

Salut

Soient 4$R \in R^{+*}, 4$U=R\mathbb{D} et 4$f = \sum_0^{\infty}a_nz^n \in H(U), bornée sur 4$U. On note 4$P=Re(f), \blue\fbox{4$N_f =sup[|f(u)-f(v)|;u,v\in U]} et \blue\fbox{4$\Delta_f=sup[|P(u)-P(v)|;u,v\in U]}

4$\forall r \in ]0,R[, établir \red \fbox{\fbox{4$a_1=\frac{1}{4\pi r}\int_0^{2\pi}[f(r exp{it})-f(-r exp{it})]exp{-it}dt}}

Auriez-vous des pistes pour commencer ?

Merci

Posté par
fusionfroidere : Fonctions holomorphes 16-02-07 à 00:01

Grr il manque une parenthèse dans l'intégrale

Posté par
Roulianere : Fonctions holomorphes 16-02-07 à 00:02

Allez on retape tout

Posté par
fusionfroidere : Fonctions holomorphes 16-02-07 à 00:03

Posté par
kaiser Moderateurre : Fonctions holomorphes 16-02-07 à 00:04

Bonsoir

Il manque une parenthèse où ça ?

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Fonctions holomorphes 16-02-07 à 00:05

Salut,

a quoi servent Nf et delta f c'est pour après?

Formule de Cauchy sur D(0,r) ca donne rien?

Posté par
kaiser Moderateurre : Fonctions holomorphes 16-02-07 à 00:06

fusionfroide> il faut faire le développement en série entière et puis interversion etc..

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Fonctions holomorphes 16-02-07 à 00:13

Merci kaiser

Cauchy, oui c'est pour après.

Merci à vous pour vos conseils.

Autre question : on est plein dans le chapitre sur l'homologie : est-ce que l'homotopie en fait parti_ ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Fonctions holomorphes 16-02-07 à 00:21

Personnellement, je n'ai pas abordée l'homologie en cours d'analyse complexe, uniquement l'homotopie, mais bon, quelque chose me dit qu'il y a un rapport entre les deux.

Kaiser

Posté par
Cauchyre : Fonctions holomorphes 16-02-07 à 00:29

Et bien personnellement non plus

Posté par
Camélia Correcteurre : Fonctions holomorphes 16-02-07 à 14:19

Bonjour
Bien sûr qu'il y a un rapport entre homologie et homotopie. Néanmoins, en variable complexe on traite d'habitude simplement des histoires d'homotopie de lacets.
Alors de quelle type d'homologie s'agit-il? singulière?

Posté par
fusionfroidere : Fonctions holomorphes 16-02-07 à 21:20

Salut Camélia : nous n'avons pas encore vu les homologies singulière :S

A+

Posté par
Camélia Correcteurre : Fonctions holomorphes 17-02-07 à 14:16

Rebonjour
Alors de quelle homologie parle-t-on?

Posté par
fusionfroidere : Fonctions holomorphes 17-02-07 à 16:51

Je ne sais pas Camélia, nous n'avons vu que les courbes homologues à 0

Mais je ne sais pas pourquoi, je parie que c'est ce qu'on appelle des homologies particulière non ?

Posté par
fusionfroidere : Fonctions holomorphes 18-02-07 à 12:56

Bonjour kaiser,

Pas de problème pour la première question.

Par contre pour la seconde, je dois montrer que 4$|a_1|R \le \frac{1}{2}N_f

Donc j'ai déjà majoré l'intégrale mais bon je ne vois pas trop comment faire intervenir 4$N_f

Merci

Posté par
kaiser Moderateurre : Fonctions holomorphes 18-02-07 à 12:58

re fusionfroide

r ou R ?

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Fonctions holomorphes 18-02-07 à 12:59

C'est bien R

Posté par
kaiser Moderateurre : Fonctions holomorphes 18-02-07 à 13:02

Etant donné que c'est vrai pour tout r < R alors, tu peux peux commencer par majorer \Large{ra_{1}} en utilisant l'inégalité de la moyenne et faire tendre r vers R.

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Fonctions holomorphes 18-02-07 à 13:07

D'accor je vais essayer.

Peux-tu me dire si c'est correct et si ça aboutit ?

Je trouve 4$|a_1|\le \frac{2\pi}{4\pi r}\times \sup_{z\in[0,2\pi]}|f(r exp{it})-f(-r exp{it})|

Merci

Posté par
fusionfroidere : Fonctions holomorphes 18-02-07 à 13:08

Oui ce doit-être ça

Posté par
kaiser Moderateurre : Fonctions holomorphes 18-02-07 à 13:08

c'est z à la place de t. Sinon pour l'instant c'est correct.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Fonctions holomorphes 18-02-07 à 13:08

pardon : c'est t à la place de z !

Kaiser

Posté par
fusionfroidere : Fonctions holomorphes 18-02-07 à 13:09

Citation :
c'est z à la place de t


Pourquoi ?

Posté par
fusionfroidere : Fonctions holomorphes 18-02-07 à 13:09

Posté par
fusionfroidere : Fonctions holomorphes 18-02-07 à 13:13

Bah en fait on retrouve directement la définition de N_f dans le dernier membre non ?

Posté par
kaiser Moderateurre : Fonctions holomorphes 18-02-07 à 13:29

pas tout à fait : on peut seulement le majorer par \Large{N_{f}} (car ce que tu trouve est le sup sur le disque de rayon r alors que \Large{N_{f}} est le sup sur le disque de rayon R).

Kaiser


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