salut,
les images sont reservees à l'ecole maternelle !
Ici on tape son texte !

Très drôle!:)

?????
Si le site nous donne la possibilité de joindre une image, pourquoi faire cela, la fonction apparaissait bien plus clairement .......

Énoncé :
Trouver tous les polynômes F(x,y)homogène de degré n vérifiant :
(1/x)F'x(x,y)=(1/y)F'y(x,y)

salut

ce qui s'écrit encore puis raisonne sur les degrés respectifs en x et y et les coefficients ...

regarde simplement ce qui se passe avec ...

f(x, y) = x^m y^n
Si je dérive ça, j'obtiens y^(n+1)mx^(m-1)=x^(m+1)ny^(n-1)
Mais du coup j'ai toujours pas ma fonction et je vois pas comment l'obtenir, je dois utilisé son homogénéité à un moment donné, et du coup Euler ou je pars sur le mauvais chemin ?

oui en fait j'ai fait une petite erreur ou plutôt un oubli : c'est quoi une fonction homogène ?

Si une fonction est homogène de degré k, elle vérifie
f(nx,ny)=n^k f(x,y) et on a le thé d'Euler qui énonce :
xf'x(x,y)+yf'(x,y)=kf(x,y)

tu me dis ce qu'elle vérifie ... mais tu ne me dis pas ce qu'elle est (du moins dans le cas présent) !!

J'ai rien d'autre dans mon cours, mis a part sur le degré d'homogénéité de sa dérivée mais je ne pense pas qu'il s'agisse de ça

ici on parle de polynome !!!

et un polynome homogène de degré n s'écrit ... ?

p(x)=x^n+y^n+xy ?

Avec des coefficients potentiellement ?

dans le cas général

et tu peux dériver en fonction de x et y

Du coup, j'obtiens ça :
f'x(x,y)=ka_ky^n-kx^k-1
f'y(x,y)=a_kx^k(n-k)y^n-k-1

Il manque la somme

Du coup ? J'en fais quoi après, je suis toujours un peu perdu

ben il serait bien d'avancer un peu !!!

écrire proprement le résultats final et conclure ...

es-tu sur du théorème d'Euler ? (que tu as écrit à 21h12)

après, si je fais :
yf'_x(x,y)=ka_ky^n-k+1x^k-1
xf'_y(x,y)=(n-k)a_ky^n-k-1x^k+1
Et ensuite ? Est-ce que je dois utiliser un thé quelconque ?

un peu de sérieux !!! quelle est la question ?

quand deux polynomes sont-ils égaux ?

Je fais un système avec les 2 égalités ?

Si ils sont de même degré et que leur coefficients sont égaux

les coefficients des monômes de même degré *

du coup ils sont égaux si (n-k)=k ; k+1=k-1 ?

?

ça n'a aucun sens, dois-je utiliser le thm d'Euler ?

Je trouve :
F(x,y)=1/n * (ka_ky^n-kx^k(1-yx^-1)+(n-k)a_ky^n-kx^k(1+xy^-1))
Suis-je dans la bonne voie ?

c'est illisible sans espace !!!

J'ai fait un système :
du coup en haut j'ai :
nf(x,y)= ka_ky^n-kx^k+(n-k)a_ky^n-kx^k (obtenu grâce à Euler
En bas j'ai :
ka_ky^n-k+1x^k-1-(n-k)a_ky^n-k-1x^k+1-=0 ( donc le xf'y(x,y)=yf'x(x,y)
j'obtiens en isolant le f(x,y) le résultat au dessus ...
Suis-je dans la bonne voie ?

????????

en  haut .... ???

en bas .... ???

je t'ai donné un cheminement ... et tu ne veux pas le suivre ...

Je veux dire la première égalité du système(=en haut),
je ne vois pas un cheminement précis, je suis d'autant plus perdu ... Revenez sur le fil du forum vous et vous verrez que vous ne m'avez pas donner d'indications précises, vous me parler d'une chose, puis une autre...
Ensuite j'ai suivi votre dernière indication, le "en bas" de mon précédent message renvoi à votre équivalence, j'ai simplement ajouté l'égalité issue d'Euler ce qui me donnait un "système", ce dernier doit être faux, mais c'était une piste ....

???

Je dois terminer mon DM du coup pourriez-vous m'aider ?

?????

Bonjour,

Le théorème d'Euler ne sert à rien ici. Il faut suivre le raisonnement indiqué par carpediem





   (1)



et tu continues    (2)

Les deux polynômes seront identiques si les coefficients des termes dans (1) et (2) sont égaux.

On va me reprocher de tout dire, mais comment faire autrement ?

non larrech je ne te fais aucun reproche ...

j'avais épuisé tous les moyens de le faire avancer ...

c'est dingue de ne pas vouloir faire ce qu'on leur dit ...

J'ai suivi absolument toutes vos indications :
j'ai
yf'_x(x,y)=ka_ky^n-k+1x_k-1
xf'_y(x,y)=(n-k)a_ky^n-k-1x^k+1
Du coup je dois avoir : n-k = k ; k-1 = k+1 ??? (message du 19 à 14h)

Donc le compteur va de 0 à 2k ?

Du coup c'est impossible, 2=0 ... Je vois pas quoi en faire

Mettre des , sans faire attention aux valeurs que peut prendre la variable muette, c'est source  d'erreur.
Ici :

  (1)

et

  (2)

tout simplement parce que lorsqu'on dérive par rapport à le terme en disparaît, et quand on dérive  par rapport à , c'est celui en qui s'en va.

Il faut donc faire un changement d'indice sur la (2) par exemple pour que les deux expressions soient comparables.

Avec i = k+1 j'obtiens :
xf'(x,y)=(n-i+1)a_i-1xⁱy^n-i
avec i allant de 1 à n
Du coup on doit avoir
n-i+1 = k n = k+i +1 = k+2
n-i = n-k+1 i= k-1 ce qui va contre l'hypothèse de départ donc il doit y avoir une erreur
Ensuite je comprends pas bien le changement de la première et de la dernière valeur du compteur, pourriez vous me réexpiquer merci encore

Est-ce parce que la dérivée doit être homogène de degré n-1 ?

Tu oublies les coefficients !! En mettant k au lieu de i (c'est une variable muette) (2) s'écrit effectivement :

  (2)

Par comparaison avec (1) on doit donc avoir l'égalité

pour  

Oui la dérivée est homogène de degré

Pour voir ce qui se passe avec les indices, fait le calcul sur un cas simple, par exemple

Mais du coup pourquoi on incréments de 1 également dans (1), ça change également notre k et donc il va de 2 à n+1 non ?

Non, ça allait de 0 à n-1, après changement ça va de 1 à n.

Pourtant, vous aviez marquer yf'(x,y)= (pour k allant de 1 à n)ka_k......
Du coup si j'augmente de 1, pour avoir l'égalité (k+1)a_k+1=(n-k+1)a_k-1
on passe de 2 à n+1 non ?  
Je comprends pas pourquoi on a pas :
ka_k = (n-k+1)a_k-1