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Fonctions hyperboliques - 2

Posté par
puisea Posteur d'énigmes 27-07-06 à 13:11

(Re-)Bonjour,

J'ai à nouveau un petit soucis avec une question :

Montrer que l'expression suivante est une constante C à déterminer :

5$\bold arctan(e^x)-arctan(th(\frac{x}{2}))

Pour montrer que c'est une constante, j'ai essayé de montrer que la dérivée est nulle, mais je n'y parviens pas... Ensuite pour trouver la constante, il n'y a qu'à prendre une valeur au hasard de x. J'ai essayé avec 0, et on arrive sur \frac{\pi}{4}.

Merci d'avance

@+

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:15

Pour le calcul de la révivée, il s'agit de fonctions composées, donc

pour la partie arctan(e^x)

on trouve comme dérivée :

4$\frac{1}{1+e^{2x}}\times e^x

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:17

De même, pour la partie :

arctan(th(\frac{x}{2}))

on a comme dérivée :

\frac{1}{1+th^2(\frac{x}{2})\times(1-th^2(\frac{x}{2})

et alors là, je ne vois pas comment arrivée à 0

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:18

petite erreur de frappe :

4$\frac{1}{1+th^2(\frac{x}{2})}\times(1-th^2(\frac{x}{2}))

Posté par
Fractalre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:22

Bonjour, je ne trouve pas la même chose pour la deuxième partie de la dérivée.
Je trouve 4$ \frac{1}{2ch^2(\frac{x}{2})(1+th^2(\frac{x}{2}))}

Fractal

Posté par
Nightmarere : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:23

La dérivée de la fonction qui à x associe l'expression donnée est :

3$\rm x\to \frac{e^{x}}{1+e^{2x}}-\frac{1-th^{2}(\frac{x}{2})}{1+th^{2}(\frac{x}{2})}

Or :
3$\rm th(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}

Ainsi :
3$\rm th^{2}(\frac{x}{2})=\frac{e^{x}+e^{-x}-2}{e^{x}+e^{-x}+2}
ie
3$\rm 1-th^{2}(\frac{x}{2})=\frac{4}{e^{x}+e^{-x}+2}
Et
3$\rm 1+th^{2}(\frac{x}{2})=\frac{2e^{x}+2e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}+2}

Par conséquent le quotient vaut :
3$\rm \frac{2}{e^{x}+e^{-x}}=\frac{2e^{x}}{e^{2x}+1}
Il doit y avoir une erreur de calcul que je n'ai pas le temps de corriger, on devrait normalement trouver 3$\rm \frac{e^{x}}{e^{2x}+1}

On en déduit que la dérivée a pour expression :
3$\rm\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}-\frac{e^{x}}{e^{2x}+1}=0

Reste à trouver l'étourderie

Posté par
Nightmarere : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:26

Oui bien sûir j'ai trouvé l'erreur, la dérivée du second terme est :
3$\rm x\to \frac{1}{2}\times \frac{1-th^{2}(\frac{x}{2})}{1+th^{2}(\frac{x}{2})} vu qu'on a x->x/2 à dériver dans la composition

Voila c'est terminé La dérivée est nulle donc la fonction constante

En plus en 0 elle vaut arctan(1)-arctan(0)=pi/4

CQFD

Posté par
lyonnaisre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:28

Très bonne idée de prendre la dérivée !!

Alors on est reparti :

4$\rm \frac{d(arctan(e^x))}{dx} = \frac{e^x}{1+e^{2x}}

4$\rm \frac{d(arctan(th(x/2))}{dx} = \frac{1}{2}.\frac{1-th^2(x/2)}{1+th^2(x/2)}

après en utilisant :

4$ th(x/2) = \frac{e^x-1}{e^x+1}

on retombe sur le résultat ( désolé mais trop long à tapper )

Romain

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:42

Après avoir pris en compte vos remarques et recommencé les calculs, j'aboutis bien à 0.

Merci à vous.

Posté par
lyonnaisre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:44

car :

3$\rm 1-th^2(x/2) = 1-\frac{(e^x-1)^2}{(e^x+1)^2} = \frac{(e^x+1)^2-(e^x-1)^2}{(e^x+1)^2} = \frac{4e^x}{(e^x+1)^2}

3$\rm 1+th^2(x/2) = 1+\frac{(e^x-1)^2}{(e^x+1)^2} = \frac{(e^x+1)^2+(e^x-1)^2}{(e^x+1)^2} = \frac{2(e^{2x}+1)}{(e^x+1)^2}

En comibinant le tout, on arrive à ce qu'il faut

Mais tu viens de me dire que c'était Ok donc

Romain

Posté par
Nightmarere : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:45

Sinon une autre idée sans dériver :

4$\rm tan[arctan(e^{x})-arctan(th(\frac{x}{2}))]=\frac{e^{x}-th(\frac{x}{2})}{1+e^{x}.th(\frac{x}{2})}

Or :
4$\rm e^{x}-th(\frac{x}{2})=e^{x}-\frac{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{x}+1} (je passe les étapes fastidieuses de calcul)

et
4$\rm 1+e^{x}th(\frac{x}{2})=1+e^{x}\times \frac{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}+e^{-\frac{x}{2}}}=\frac{e^{2x}-1}{e^{x}+1}

Finalement :
4$\rm tan[arctan(e^{x})-arctan(th(\frac{x}{2}))]=1
d'où
4$\rm arctan(e^{x})-arctan(th(\frac{x}{2}))=\frac{\pi}{4}

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:49

Oui effectivement, c'était pas mal non

Juste une question, à partir de quelle formule ou propriété as-tu :

4$\rm%20tan[arctan(e^{x})-arctan(th(\frac{x}{2}))]=\frac{e^{x}-th(\frac{x}{2})}{1+e^{x}.th(\frac{x}{2})}

est-ce que :

tan(arctan(a) + arctan(b)) = (a+b)/(1+ab)

?

Posté par
Nightmarere : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:50

Formule d'addition :

3$\rm tan(a-b)=\frac{tan(a)-tan(b)}{1+tan(a)tan(b)}

Posté par
Nightmarere : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:51

Or tan(arctan)=Id modulo certaines conditions bien sûr

Posté par
puisea Posteur d'énigmesre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:52

ah oui, je n'avais pas la formule d'addition des tangentes en tête.

Merci encore

Posté par
Nightmarere : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 13:55

De rien

Posté par
lyonnaisre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 14:26

Oui, bien vu Jord !

ceci revient en fait à utiliser la formule de Machin, trouvée en 1706 , ie :

Si p et q sont 2 réels vérifiants pq 1 on a :

k {-1,0,1} tq  4$\rm arctan(p)+arctan(q) = arctan(\frac{p+q}{1-pq})+k\pi

A+ sur l'
Romain

Posté par
infophilere : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 14:28

Désolé de m'incruster, mais que signifie "ie" ? Internet Explorer ?

Posté par
lyonnaisre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 14:30

nan

Cela signifie " id est " autrement dit : " c'est à dire "

J'aurais pu mettre cad mais j'avais pas envie :D

Posté par
infophilere : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 16:23

ah ok merci

Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 16:40

Au sujet de "Machin" :

\arctan x+\arctan y = \displaystyle\arctan\frac{x+y}{1-xy}+\varepsilon\pi
où \varepsilon= \left\{\begin{array}{rcl} \\ -1 & \mathrm{si} & xy>1\;\mathrm{et}\; x,y\le 0\\ \\ 0 & \mathrm{si} & xy<1\\ \\ 1 & \mathrm{si} & xy>1\;\mathrm{et}\;x,y\ge 0 \\ \end{array}\right.

\displaystyle\arctan x+\arctan\frac{1}{x} = \displaystyle sgn(x).\frac{\pi}{2}

Sauf erreur !

Nicolas

Posté par
cinnamonre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 16:44

Bonjour Nicolas :).

Je profite de ton intervention dans ce topic pour te faire un petit coucou, car il n'y a pas grand chose à se mettre sous la dent sur l'île ces temps-ci, et je ne sais pas si j'aurai d'autres occasions...

A bientôt j'espère...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 16:50

Coucou, cinnamon.

(Je pars en vacances samedi matin - retour vers le 17-18 août )

Au plaisir de te recroiser,

Nicolas

Posté par
cinnamonre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 16:55

Bonnes vacances à toi alors...

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 16:56

A toi aussi ! Profites-en bien

Posté par
cinnamonre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 17:01

Pour ma part, je n'ai pas vraiment de vacances étant donné qu'entre mon job du mois de juillet et mon stage du mois d'août, je travaille tout l'été...

Mais merci quand même .

Je crois qu'il vaut mieux s'arrêter là, on dérive vers le salon de thé.

à+

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Fonctions hyperboliques - 2 27-07-06 à 17:04

Bon courage, alors !

Salon de thé, certes, mais nous ne sommes pas des habitués. On nous pardonnera probablement...

Nicolas


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