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Fonctions intégrables d après Lebesgue
Bonjour,
J'ai un produit scalaire sur l'espace vectoriel des fonctions réelles intégrables d'après Lebesgue sur l'intervalle [a, b] :
< f, g > =
Comment :
1) définir une norme sur cet espace et la distance associée à cette norme ?
2) déterminer que l'espace est de Banach, de Hilbert, ou les 2 ? (en émettant l'hypothèse que cet espace est complet par rapport à la distance du 1) )
3) - en ayant supposé que l'espace est de Hilbert, et en considérant un système orthonormal partant de 0 (0, 1, 2...)
- en définissant un sous-espace de
engendré par toutes les combinaisons linéaires du type :
avec
quelque soit
montrer que est un sous-espace fermé de l'espace de Hilbert
?
4) en considérant , construire la projection orthogonale
de
sur
?
5) déterminer quelle est la meilleure approximation de la fonction par une série du type
? Il faut justifier ce choix en minimisant la distance
- définie au 1) - de
par rapport à un vecteur quelconque de
.
Je sais qu'on peut utiliser les notions de projection orthogonale et d'approximation au sens des moindres carrés, mais je ne sais pas m'en servir!
Merci donc de m'aider, ne serait-ce qu'un peu.
Bonjour,
il est assez évident que lorsque l'on a une semi norme, on peut créer une norme sur un espace quotient (je te laisse trouver lequel)
Ici il est clair que l'intégrale de la valeur absolue est bien une semi norme sur l'ensemble des fonctions définies sur X=[a,b]
Pour la 2, ce n'est pas très difficile, tu as un produit scalaire, et tu viens de normer ton espace, donc tu as un espace pré-hilbertien. Donc il est de Banach si et seulement si il est de Hilbert, car il ne reste que la complétude à montrer. ie: une suite de fonction de Cauchy de L2 est elle une suite convergente dans L2?
pour la 3 on ne sait pas ce qu'est teta, mais j'ai l'impression que ton espace est de dimension finie, donc clairement fermé (les teta sont fixés?)
la 4 peut se faire en passant par les coefficients de Fourier.
5- la meilleure approximation au sens de distance dans L2 sera donnée par la projection orthogonale, comme n'importe quoi dans n'importe quel Hilbert, et cette approximation est unique.
A+
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