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fonctions: les extremums
Bonjour à tou, j'ai un petit problème. Le fait est que je n'arrive pas à comprendre comment démontrer qu'une fonction admet un extremum. Par exemple, cet excercice on l'a fait en classe mais je ne comprend toujours pas 
pouviez-vous m'expliquer . merci d'avance 
Soit la fonction f définie sur 
par:
f(x)=x²-4x+2
a) Résoudre f(x)=-2
b)Démontrer que pour tout x réel, on a f(x)
-2
c)En déduire que f admet un extremum que l'on précisera .
Pour ma part, je sais résoudre f(x)=-2 aucun problème
Mais la b) et c), je ne comprend pas !
Merci d'avance pour vos explications
P.S: j'ai cherché dans les fiches maths de seconde, mais je n'ai pas trouvé un cours su les extremums j'ai mal cherché peut-être s'il y en a un, pouvez-vous m'envoyé le lien merci d'avance
f(x) = -2
x²-4x + 2 = -2
x² - 4x + 4 = 0
(x-2)² = 0
x = 2
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f(x)+ 2 = x²-4x+2 + 2
f(x)+ 2 = x²-4x+4
f(x)+2 = (x-2)²
f(x) = -2 + (x-2)²
f(x) sera minimum si (x-2)² est le plus petit possible
Or (x-2)² >= 0 à cause du carré.
Donc f(x) sera minimum si (x-2)² = 0, soit pour x = 2
La valeur minimum de f(x) sera donc f(2) = -2
--->
donc f(x) est minimum pour x = 2 et ce minimum est égam à -2.
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OK ?
Bonjour J-P, ok mais je ne comprend pas pourquoi on rajoute 2 ? quel est l'intérêt?
f(x)+ 2 = x²-4x+2 + 2
On ajoute 2 pour faire apparâtre une identité remarquable (un carré)
Si on a :
f(x) = x²-4x+2
il n'y a pas d'idendité remarquable.
Mais si au lieu d'avoir x²-4x+2, on avait eu x²-4x+4, alors c'était bien car (x²-4x+2) = (x-2)² et on sait que x-2 >= 0 est TOUJOURS >= 0.
Donc f(x) = x²-4x+2 n'est pas "spécial", mais en ajoutant 2 de chaque coté, on a :
f(x)+ 2 = x²-4x+4
Et là, le second membre est un carré parfait (et donc toujours >= 0)
on a donc f(x) + 2 = (x-2)²
f(x) = -2 + (x-2)²
Le fait que (x-2)² est positif ou nul quel que soit x, permet de dire que f(x) sera minimum lorsque (x-2)² = 0 et que ce minimum est -2
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OK ?
ahhh d'accord je comprend mieux meci beaucoup J-P
derniere petite question: dans c), on nous demande "En déduire que f admet un extremum que l'on précisera " est-ce que dans ce cas, extremum veut dire que le minimum, ou il faut déduire le minimum et le maximum? 
merci encore
on a determiné le minimum qui est éagal a -2 lorsque x=2; mais est-il besoin de determiner le maximum??
Dans ce cas précis, il y a un minimum de f(x) mais pas de maximum.
Il s'agit bien d'un minimum puisque en x = 2, f(x) vaut -2 , alors que pour toute autre valeur de x , f(x) > -2 (puisqu'on ajoute (x-2)² qui est strictement positif pour toutes valeurs de x différentes de 2.
Il faut donc bien dire que l'extremum est un minimum dans le cas de l'exercice.
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ok merci encore J-P
J'ai retenu maintenant : extremum pluriel de extrema 
je ne le savais pas cela me fait une information de plus
@ bientôt
fatim
Bonjour,
Bonjour J-P, ok mais je ne comprend pas pourquoi on rajoute 2 ? quel est l'intérêt?
f(x)+ 2 = x²-4x+2 + 2
On se sert seulement de cette petite méthode : "pour comparer deux nombres (ici f(x) et (-2)), on étudie le signe de leur différence" :
si on trouve que (f(x)-(-2)) est positif, c'est que f(x) est plus grand que (-2) et inversement.
Tu trouves que c'est un carré, donc c'est positif donc tu as l'inégalité demandée au 2).
Pour le 3), si on ne veut pas s'écarter de l'énoncé, on explique
- primo qu'on a montré au 2) que (-2) est un minorant de f (plus petit que toutes les valeurs f(x)),
-deuxio qu'on a vérifié au 1) qu'il était atteint pour x=2, ce qui fait de lui un minimum (voir définition de ce terme dans ton cours, ou dans ton livre si tu fais partie de ces jeunes gens qui ont du mal à prendre des notes
...) 
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