Inscription / Connexion Nouveau Sujet
fonctions lipschitzienne, uniformément continue
Bonjour,
Déterminer si les applications suivantes sont continue, lipschitziennes, uniformément continues :
1) ƒ:ℝ->ℝ, ƒ(x)=x³
2) ƒ:[0,1]->ℝ, ƒ(x)=x³
3) ƒ:[0,+∞[->ℝ, ƒ(x)=√(x)
4) ƒ:[1,+∞[->ℝ, ƒ(x)=√(x)
pour la 3) j'arrive a démontrer que la fonction ƒ(x)=√(x) n'est pas lipschitzienne sur [0,+∞[ , je suppose que c'est vrai et arrive a un resultat absurde
j'ai supposé donc qu'il existe un reel K appartenant à [0,+∞[ tq
|√(y)-√(x)|
K|y-x|
et donc si on prend par exemple K=0 on aura √(x)=√(y) pour tout x,y
[0,+∞[ ce qui est absurde.
merci d'avance
Pour le 1.
Prends x 
et étudie les variations de u x: t 
((x + t)3 - x3)/t de * vers .
Pour le 3 :
Même chose avec u x: t ((x + t)1/2 - x1/2)/t de [-x 0[ 
]0 , +
[ vers . Cette fois v(x) := Sup(ux) est un réel .
Calcule Sup(v) .
Bonjour,
Tu dois montrer qu'il existe un appartenant à
tel que pour tout x,y appartenant à
,
(si tu veux montrer qu'elle est lipschitzienne). Toi tu supposes qu'il existe un
tel que [...] et puis tu choisis
. Pourquoi
serait égal à
?
Commençons par 1) :
On veut montrer que cette fonction n'est pas lipschitzienne.
Soit appartenant à
. On veut trouver un couple
appartenant à
tel que
. On aura alors réfuté l'affirmation et donc
ne sera pas lipschitzienne.
On va prendre , pour n'avoir plus qu'à choisir un bon
(ça va permettre de travailler avec une variable plutôt qu'avec 2, ce qui sera plus facile).
On cherche donc tel que
. Puisque
est positive sur
et
est positif, on peut supprimer les valeurs absolues. Ce qui revient à résoudre l'inéquation en
;
.
Donc . En conclusion :
Soit appartenant à
.
Si on prend et
, alors,
n'est donc pas lipschitzienne.
Errata, symbole mal passé :
Bonjour,
Tu dois montrer qu'il existe un appartenant à
tel que pour tout x,y appartenant à
,
(si tu veux montrer qu'elle est lipschitzienne). Toi tu supposes qu'il existe un
tel que [...] et puis tu choisis
. Pourquoi
serait égal à
?
Commençons par 1) :
On veut montrer que cette fonction n'est pas lipschitzienne.
Soit appartenant à
. On veut trouver un couple
appartenant à
tel que
. On aura alors réfuté l'affirmation et donc
ne sera pas lipschitzienne.
On va prendre , pour n'avoir plus qu'à choisir un bon
(ça va permettre de travailler avec une variable plutôt qu'avec 2, ce qui sera plus facile).
On cherche donc tel que
. Puisque
est positive sur
et
est positif, on peut supprimer les valeurs absolues. Ce qui revient à résoudre l'inéquation en
:
.
Donc .
En conclusion :
Soit appartenant à
.
Si on prend et
, alors,
n'est donc pas lipschitzienne.
Woops, j'ai considéré que le domaine était . On oublie l'argument pour retirer la valeur absolue, mais au final ça ne change rien au résultat si ce n'est qu'on justifiera en disant qu'on cherche un
positif.. (et qu'on l'a trouvé).
salut
il suffit alors de faire tendre x et y vers 0 pour aboutir à une contradiction sur [0; +oo[....
.... et choisir k = 1 sur [1, + oo[
Ok, d'abord comment je peux déterminer s'elles sont continues et
u uniformément continues en utilisant la définition de la continuité ?
car en général elles sont toutes continues du fait qu'elles sont des fonctions polynôme, mais je sais pas le démontrer avec la definition de la continuité
soit a
>0 ,, 
>0 , x
|x-a| 
|f(x)-f(a)|
je commence par faire exprimer |x3-a3| en fonction de |x-a|
j'obtiens |x3-a3|=|x-a||x+a||x+a|
|x-a|
x-a
2a-x+a2a+
je bloque apres j'arrive pas a trouver un moyen d'exprimer en fonction de
:?
fixons x ...
alors quand y --> +oo (polynome du second degré en y)
donc il n'existe pas de réel k tel que
....
en fait je cherche ici dans un premier temps a démontrer la continuité de la fonction en utlisant la définition et non pas si elle est lipschitzienne ou pas
Dans ce cas, tu peux quand même utiliser la même idée, il suffit de te placer au voisinage de a et de majorer x^2+ax+a^2 lorsque |x-a|<eta
Annuler
connectez vous
analyse en post-bac