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fonctions lipschitziennes
bonjour,
je suis une étudiante en bac physique et au dernier cours d'analyse on nous a soumis un atelier qui reste mystérieux pour moi...
on doit prouver :
- une fonction f qui est lipschitzienne sur un ensemble A est aussi continue sur A.
- si A est un intervalle fermé borné, alors toute fonction locallement lipschitzienne sur A est aussi lipschitzienne sur A.
je sais qu'il faut prouver la première partie en utilisant la démonstration epsilon/delta. la deuxième partie devrait pouvoir se démontrer avec le lemme de cousin.
PS: est-ce que vous pourriez aussi me donner une définition concrète d'une fonction lipschitzienne? Car on m'a donner la défintion, mais je n'arrive pas à me représenter ce que c'est...
merci d'avance.
Bonjour,
une fonction lipschitzienne de rapport k est une fonction qui vérifie
|f(x)-f(y)|<k|x-y| pour tout x et y de ton ensemble.
Ici la première démonstration est facile, si tu fixe y et que tu fais tendre x vers y, alors il est évident que f(x) tend vers f(y), ce qui est la définition de la continuité en y.
Pour la 2e, je ne connais pas le lemme de Cousin, mais tu as un fermé borné de R, donc un compact de R (Heine-Borel). Notamment de tout recouvrement d'ouvert tu peux en extraire un recouvrement fini.
Ta fonction est localement lipschitzienne, ce qui signifie, que tu peux recouvrir ton intervalle K, par des ouverts sur lesquels ta fonction est lipschitzienne. Je pense que tu dois pouvoir t'en tirer à partir de ceci...
Bonne chance,
A+
Est ce que le bac physique correspond à la licence française, c'est à dire au premier cycle universitaire? C'est le nom canadien pour le premier cycle.
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