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Fonctions Lipshitziennes

Posté par
Panter Correcteur 13-03-07 à 22:45

Je vous propose cet exo qui a pour but d'étudier quelques propriétés des fcts lipschitziennes .

Soit \mathfrak{F} l'ensemble des fonctions à valeurs dans \mathbb{R} définies sur \mathbb{R} et soit \mathfrak{L} le sous-ensemble de \mathfrak{F} formé des fonctions lipshitziennes.

1) Montrer que \mathfrak{L} est un sous-espace vectoriel de \mathfrak{F} .
2) Soit f \in \mathfrak{F} dérivable, montrer que, pour que f \in \mathfrak{L} , il faut et il suffit que sa dérivée f^{'} soit bornée.
3) f et g étant deux fonctions bornées de \mathfrak{L} , montrer que leur produit est aussi une fonction de \mathfrak{L} .En est-il de même si f et g ne sont pas toutes les deux bornées ?
4) Soit f \in \mathfrak{L}, montrer l'existance de deux réels positifs Aet B tels que : \forall x \in \mathbb{R} :|f(x)| \leq A|x|+B .
5) Soit f \in \mathfrak{F}, On suppose qu'existe un réel positif M tel que, pour tous x et y réels vérifiant 0 \leq x-y \leq 1, on a |f(x)-f(y)| \leq M|x-y|. Démontrer que f \in \mathfrak{L}.

J'espère que ca va être interessant pour vous, car c'est un extrait de concours CPGE ! Bonne chance

Posté par
Nightmarere : Fonctions Lipshitziennes 13-03-07 à 23:19

Bonsoir

Rapidement avant de me coucher :

2) Avec le théorème des accroissements finis, il existe c tel que f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)
d'où 3$\rm |f(b)-f(a)|=|f'(c)||b-a|\le ||f'||_{\infty}(b-a) donc f est 3$\rm ||f'||_{\infty} lip.

Réciproquement, s'il existe k tel que 3$\rm |f(b)-f(a)|\le k|b-a|
On a 3$\rm \|\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\||\le k d'où par passage à la limite ...

3) (fg)'=f'g+g'f.
f et g étant bornées et lips, f'g+g'f, ie (fg)' est bornée donc fg est lip.

4) f est lip donc sa dérivée est majorée en valeur absolue par M. En appliquant l'inégalité des accroissements finis sur [0,x] on a le résultat souhaité.

Je réfléchis pour la 5)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fonctions Lipshitziennes. 13-03-07 à 23:25

Bonsoir ;
Nightmare , pour la 3) et la 4) je ne crois pas que les éléments de \scr L sont nécessairement dérivables (sauf erreur)

Posté par
kaiser Moderateurre : Fonctions Lipshitziennes 13-03-07 à 23:25

Bonsoir

Nightmare > une fonction lipschitzienne n'est pas forcément dérivable.

Kaiser

Posté par
kaiser Moderateurre : Fonctions Lipshitziennes 13-03-07 à 23:25

Posté par
Nightmarere : Fonctions Lipshitziennes 13-03-07 à 23:27

Evidement je me disais que c'était trop simple !

Bonsoir à vous deux

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fonctions Lipshitziennes. 13-03-07 à 23:33

Pour la 3) il suffit de remarquer que \fbox{\forall x,y\in\mathbb{R}\\f(x)g(x)-f(y)g(y)=(f(x)-f(y))g(x)+f(y)(g(x)-g(y))}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fonctions Lipshitziennes. 13-03-07 à 23:42

Mais le produit de deux fonctions \fbox{f,g{:}\mathbb{R}\to\mathbb{R}} lipschitziennes non bornées n'est pas en général lipschitzien ,
prendre par exemple \fbox{f=g=Id_{\mathbb{R}}}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fonctions Lipshitziennes. 13-03-07 à 23:48

Pour la 4) on a en particulier pour tout réel x \fbox{|f(x)-f(0)|\le K|x-0|} d'où \fbox{\forall x,\\|f(x)|\le K|x|+|f(0)|}

Posté par
Cauchyre : Fonctions Lipshitziennes 14-03-07 à 00:30

Citation :
Une fonction lipschitzienne n'est pas forcément dérivable.


Vous chipotez c'est dérivable presque partout

Posté par
Panter Correcteurre : Fonctions Lipshitziennes 14-03-07 à 01:31

Allez les gars, c'est trop simple cet exo, la 5 et la 1 !!!!!!

Posté par
Panter Correcteurre : Fonctions Lipshitziennes 14-03-07 à 01:33

c'est parce que c'est ma 1ere proposition que j'ai donner qq chose de tres facile, et vous n'avez pas encore trouvé 5 et 1 !!!

Posté par
jeansebre : Fonctions Lipshitziennes 14-03-07 à 14:51

Citation :
c'est parce que c'est ma 1ere proposition que j'ai donner qq chose de tres facile, et vous n'avez pas encore trouvé  5 et 1 !!!


Sympa, Panter! Grâce à lui, le gratin du forum a l'occasion de se muscler le neurone! Il est vraiment trop bon...

Posté par
Panter Correcteurre : Fonctions Lipshitziennes 14-03-07 à 14:56

je donnerai la correction de cet exo le soir, merci

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fonctions Lipshitziennes. 15-03-07 à 15:10

La \fbox{1)} est facile .
Pour la \fbox{5)} voilà ce que j'ai trouvé:
On commence d'abord par remarquer que f est continue sur \mathbb{R}.
pour a réel quelconque considérons l'ensemble 3$\fbox{A=\{x\ge a\hspace{5}/\hspace{5}|f(x)-f(a)|\hspace{5}>\hspace{5}M(x-a)\hspace{5}\}}.
L'idée est de prouver que 2$\blue\fbox{A=\empty} ce qui donnerait le résultat souhaité (vu que a est arbitraire).

Sinon (par l'absurde) soit 2$\red\fbox{b=inf\hspace{5}A},
je dis alors que 3$\fbox{et\{{b\ge a+1\\b\notin A} (assez facile à voir sinon je développerai)
et ainsi on peut trouver un réel 3$\fbox{x\in]b,b+1[\cap A} et en remarquant que 3$\fbox{a\le x-1<b} on aurait simultanément,
3$\fbox{et\{{|f(x-1)-f(a)|\le M(x-1-a)\\|f(x)-f(x-1)|\le M} et on sommant ces deux dernières inégalités on aurait 4$\fbox{|f(x)-f(a)|\le M(x-a)}
ce qui est clairement absurde vu que 2$\red\fbox{x\in A} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
Panter Correcteurre : Fonctions Lipshitziennes 15-03-07 à 23:09

Bravo !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Fonctions Lipschitziennes. 15-03-07 à 23:59

Bonsoir Panter ;

Citation :
J'espère que ca va être interessant pour vous, car c'est un extrait de concours CPGE ! Bonne chance

Oui c'est intéressant et j'aimerais bien , si c'est possible , que tu postes le reste de l'exercice
(s'il en reste bien entendu)

Posté par
Panter Correcteurre : Fonctions Lipshitziennes 16-03-07 à 13:47

D'accord elhor_abdelali, mais c'est tout un problème, alors ca va durer un peu pour le publier.


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