Bonjour,
J'ai un dm à faire. J'ai pu avancer mais je suis bloquée.

But de l'exercice : trouver toutes les fonctions monotones vérifiant : quelque soit x réel f(x+y)=f(x)*f(y)

On suppose qu'une telle fonction existe.

1. Montrer que quelque soit n entier naturel f(n)=(f(1))^n

Montrons que quelque soit x réel, f(x) différent de 0.
Supposons qu'il existe x0 réel tel que f(x0)=0
quelque soit y réel, f(y)=f(y-x0+x0)=f(y-x0)*f(x0)=0 => impossible car f est monotone

Montrons que quelque soit x réel, f(x)>0.
quelque soit x réel, f(x)=f(x/2 + x/2)=(f(x/2))^20

Donc quelque soir x réel, f(x)>o

quelque soit n entier naturel supérieur ou égal à 1 :
(f(1))^n=f(1)*f(1)*...*f(1) avec n facteurs
(f(1))^n=f(1+1+...+1) avec n termes
(f(1))^n=f(n)

f(0)=f(0)*f(0)=(f(0))^2 donc f(o)=1 ou f(o)=0 => f(o)=1=(f(1))^0

Donc quelque soit n entier naturel f(n)=(f(1))^n

2. Montrer que quelque soit p entier relatif, f(p)=(f(1))^p

On pose p=-n avec n entier naturel.
quelque soit p entier relatif, f(p)=f(-p)*f(2p)=(f(1))^(-p)*(f(p))^
Or f(p) différent de 0 donc 1=(f(1))^(-p)*f(p)
Donc f(p)=(f(1))^ car f(1) différent de 0.

3. Montrer que quelque soit q entier naturel supérieur ou égal à 1, f(1)=(f(1/q))^q

4. En déduire que quelque soit r rationnel, f(r)=(f(1))^r

On peut écrire r sous la forme r=p/q
f(r)=f(p/q)=f(p*1/q)=f(p)*f(1/q)=(f(1))^p*f(1)^(1/q)=(f(1))^(p/q)=(f(1))^r

5. On admet que l'on peut approcher tout réel x par deux suites monotones de rationnels (rn) et (rn') telles que rnxrn' et en + lim rn = lim rn' = x.
Etudier (f(rn)) et (f(rn')).

6. Montrer que quelque soit x réel, f(1)^x=f(x)

7. Trouver toutes les solutions du problème.

8. En déduire les fonctions monotones sur l'ensemble des réels vérifiant : quelque soit x et y réels, f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)*f(y)

J'espère que ce que j'ai fait est déjà correct.
Merci pour votre aide.
cassiopee92