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fonctions reciproques

Posté par
flashy 01-11-05 à 00:02

bonjours a tous

comment peu on demontrer l'egalité suivant
1)2arctan((1+x²)-x)+arctanx=/2
seulemnt 1+x² est eleve au racine

2)quel est la fonction reciproque de (e^x - e^-x)/2
est elle derivable ou non sur R

3)soit z=x+iy un nombre complexe de module 1 different de -i et i alors pau on dire que z=e^i   avec = arctan(y/x)



sinon une derniere k j'ai fé mé je ne suis pas sur
je cherche le DL d'ordre 2 en o de fx=x^3*sin(1/x) avec x diiferent de 0 et f(0)=0


merci d'avance

je trouve f(x)=x²+x²(x)

c bon ou non

Posté par
Roulianere : fonctions reciproques 01-11-05 à 00:16

Bonsoir,

Pour la première calcules la dérivée

Nicoco

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonctions reciproques 01-11-05 à 03:26

Bonsoir flashy et Nicoco;
1) Soit x\in\mathbb{R} on sait quil existe un réel unique \alpha\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[ tel que tan(\alpha)=x on peut alors écrire que:
3$\fbox{2arctan(\sqrt{1+x^2}-x)+arctan(x)=2arctan(\frac{1}{cos(\alpha)}-tan(\alpha))+\alpha=2arctan(\frac{1-sin(\alpha)}{cos(\alpha)})+\alpha}
et en remarquant que 3$\fbox{\frac{1-sin(\alpha)}{cos(\alpha)}=\frac{1-cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)}{sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\frac{2sin^2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})}{2sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})cos(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})}=tan(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})} et que 3$\fbox{\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\in]0,\frac{\pi}{2}[}
il vient que 4$\blue\fbox{2arctan(\sqrt{1+x^2}-x)+arctan(x)=2(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2})+\alpha=\frac{\pi}{2}} CQFD

Sauf erreurs bien entendu

Posté par mehwash (invité)merci 01-11-05 à 13:47

merci pour la reponse
tu n'aurais pas une idée pour le reste

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fonctions reciproques 01-11-05 à 14:43

Bonjour mehwash;
2)Tu dois savoir que la fonction 3$\fbox{sh{:}x\to\frac{e^x-e^{-x}}{2}} appelée fonction sinus hyperbolique vérifie:
(*)Continue dérivable sur \mathbb{R} de dérivée la fonction 3$\fbox{sh'=ch{:}x\to\frac{e^x+e^{-x}}{2}>0} appelée fonction cosinus hyperbolique.
(*)impaire et 3$\fbox{\lim_{-\infty}sh=-\infty\\\lim_{+\infty}sh=+\infty}
elle réalise donc une bijection de \mathbb{R} sur \mathbb{R} et si on note 2$\fbox{sh^{-1}=argsh} sa bijection réciproque on a donc que:
(*)2$\fbox{argsh} est impaire,continue et strictement croissante sur \mathbb{R}
(*)2$\fbox{argsh} est dérivable sur \mathbb{R} vu que 2$sh est dérivable sur \mathbb{R} et 2$sh'=ch ne s'annule pas.
Expression de argsh:
2$\fbox{\forall x,y\in\mathbb{R}\\y=argsh(x)\Longleftright x=sh(y)\Longleftright x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}\Longleftright x=\frac{e^y-\frac{1}{e^{y}}}{2}\Longleftright (e^{y})^2-2xe^y-1=0\Longleftright(e^y-x)^2=x^2+1\Longleftright|e^y-x|=sqrt{x^2+1}}
et vu que 2$\fbox{x=\frac{e^y-\frac{1}{e^{y}}}{2}<e^y} (vérification facile) on voit que:
4$\blue\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\argsh(x)=ln(x+sqrt{x^2+1})}
Expression de argsh':
vu que 3$\fbox{et\{{sh'=ch\\ch^2-sh^2=1} on voit que 3$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\sh'(x)=sqrt{1+(sh(x))^2}} et donc que 3$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\sh'(sh^{-1}(x))=sqrt{1+(sh(sh^{-1}(x)))^2}=sqrt{1+x^2}} et donc que 3$\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\(sh^{-1})'(x)=\frac{1}{(sh'o sh^{-1})(x)}=\frac{1}{sqrt{1+x^2}}} c'est à dire que:
4$\blue\fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\argsh'(x)=\frac{1}{sqrt{1+x^2}}}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par mehwash (invité)waooooo 01-11-05 à 19:05

waooooooo
toute cette demonstration
on a meme pas encore traité ca avec notre prof.mais bon j'espere que cela me servira dans peu de temps
merci pour tout


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