Niveau Prepa (autre)

Fonctions trigonométriques

Posté par
matheux14 01-11-21 à 23:51

Bonsoir,

Merci d'avance.

Soit a et b deux réels.

Déterminer :

1) $\cos(a+b)$ et $\cos(a-b)$ .

2) $\sin(a+b)$ et $\sin(a-b)$ .

3) $\text{tan} (a+b)$ et $\text{tan} (a-b)$ .

4) $\cos h (a+b)$ et $\cos h (a-b)$ .

5) $\sin h (a+b)$ et $\sin h (a-b)$ .

6) $\text{tan} h (a+b)$ et $\text{tan} h (a-b)$ .

Réponses

Pour les 3 premières questions j'ai pu faire grâce à une technique malou m'a montré y a un peu longtemps..

1) ; 2 et 3) Soit $x \in \R$ .

On sait que $e^{ix}= \cos x +i \sin x$

En posant $x= a+b$ ; $e^{ix}=e^{i(a+b)}= \cos(a+b) +i \sin(a+b)$ . (1)

$e^{i(a+b)}=e^{i a} * e^{i b} = (\cos a + i \sin a) (\cos b + i \sin b)=\cos a \cos b - \sin a \sin b + i(\sin b \cos a + \sin a \cos b)$

Par identification : (1) ==> $\cos(a+b)=\cos a \cos b - \sin a \sin b$ et $\sin(a+b)= \sin b \cos a + \sin a \cos b$

En posant b= -b on a : $\cos(a-b)=\cos a \cos b + \sin a \sin b$ et $\sin(a-b)=\sin a \cos b - \sin b \cos a$

* On sait que $\text{tan} X = \dfrac{\sin X}{\cos X}$

$\text{tan} (a+b)=\dfrac{\cos(a+b)}{\sin(a+b)}=\dfrac{\sin b \cos a + \sin a \cos b}{\cos a \cos b - \sin a \sin b}=\dfrac{\dfrac{\sin b \cos a + \sin a \cos b}{\cos a \cos b}}{\dfrac{\cos a \cos b - \sin a \sin b}{\cos a \cos b}}= \dfrac{\text{tan}a +\text{tan}b}{1-\text{tan}a \text{tan}b}$

De même $\text{tan} (a+b)=\dfrac{\text{tan}a -\text{tan}b}{1+\text{tan}a \text{tan}b}$