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Fonctions Usuelles

Posté par
pfff 11-12-20 à 23:23

Bonsoir, j'aimerais un peu d'aide . Merci

ÉNONCÉ

soit g la fonction définie par g(x) = arccos(cos(x)) + arcsin(cos(2x))

1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction g.

2. A quel ensemble peut-on réduire l'étude de la fonction g ?

3. Pour x ∈ [ 0 , \frac{\pi }{2} ] donner une expression simple de g(x).

4. Pour x [ \frac{\pi }{2}, \pi ], donner une expression
simple de g(x).

5.5. T racer le graphe de g.

Reponse

1. g existe si x \in [ 0, \pi ] \, et\, 2x \in [0,\pi ] en faisant l'intersection je trouve
D_f = [ 0 , \frac{\pi }{2} ]

pour faire la 2e question avec le domaine de definition que je trouve je vois pas comment continuer donc j'aimerais un peu d'aide

Posté par
Zrunre : Fonctions Usuelles 12-12-20 à 01:23

Sur quoi sont définit l'arccos et l'arcsin ?

Posté par
etniopalre : Fonctions Usuelles 12-12-20 à 09:08

  
    On peut remarquer que si  arccos(cos(x))  et arcsin(cos(2x)) existent  
arccos(cos(-x))  , arcsin(cos(-2x)) , arccos(cos(x + 2))  et arcsin(cos(2[x+2))   existent   aussi ce qui permet de dire que l'ensemble X qu'on cherche est symétrique par rapport à 0 et invariant par la translation x   x + 2 .
Il suffit donc d'avoir  X ' := X [0 , ]  pour avoir X tout entier .


     Pour que  Arccos(y)  existe il est nécessaire que y soit dans [0 ,  ]  
Si x est dans X' et si  y = cos(x)  , il faudra donc que cos(x) soit dans   [0 ,  ]   donc que x soit dans  [ 0 , /2       .

Fais la même chose pour savoir où doit se trouver x pour que Arccos(sin(2x)) existe .
-------------------

Posté par
tibogre : Fonctions Usuelles 12-12-20 à 09:13

\arccos (\cos (4 \pi))=\arccos (1)= 0  non ? Et pourtant 4 \pi  n'est pas dans ton intervalle \left[0,\pi \right]... En fait ton Df est beaucoup plus grand... Recherche-le encore et tu devrais mieux voir comment le réduire dans ta question 2.

Posté par
etniopalre : Fonctions Usuelles 12-12-20 à 10:17

tibog
      Arccos ( cos (2020 ))=   0  et pourtant     2020   n'est pas dans  mon intervalle   [0 , ]  .

Et alors ?

Posté par
tibogre : Fonctions Usuelles 12-12-20 à 11:17

Bonjour etniopal,

Alors, sans doute la réponse à la première question n'est pas complète, car il manque des valeurs dans le Df proposé qui ont pourtant une image.

etniopal @ 12-12-2020 à 09:08

  
     Pour que  Arccos(y)  existe il est nécessaire que y soit dans [0 ,  ] .
-------------------


Pour que arccos(y) existe, je crois qu'il est plutôt nécessaire que y soit entre -1 et 1.  Or, pour tout x réel, cos(x) appartient bien à cet intervalle ! Donc le premier terme, arccos(cos(x)), est bien défini pour tout réel. Cependant il est cyclique d'où l'idée de réduire l'intervalle dans la deuxième question.
Es-tu d'accord ?

Posté par
pfffre : Fonctions Usuelles 12-12-20 à 17:12

1- J'ai lu vos messages et j'ai pu retenir ca :

arcos(cosx) est definie pour tout réel x et arcsin(2cosx) est definie pour tout réel x

donc Df =

2- Pour la réduction de l'intervalle

j'ai d'abord montré que g est 2-périodique et ensuite qu'elle est paire.
Dans la suite de l'exercice je vois bien que je dois réduire l'intervalle à [ 0 , ]
comment faire ?

Posté par
lafol Moderateurre : Fonctions Usuelles 12-12-20 à 17:16

Bonsoir
autant il est vrai que cos x est toujours entre -1 et 1 (au sens large), autant c'est faux pour 2cos x !

Posté par
lafol Moderateurre : Fonctions Usuelles 12-12-20 à 17:18

ceci dit, faudrait savoir, une fois tu parles de Arcsin (cos(2x)), une fois de Arcsin (2 cos x)
j'espère que tu saisis la différence ?

Posté par
pfffre : Fonctions Usuelles 12-12-20 à 17:19

mais il n'y a pas de 2cosx ici c'est cos(2x)

Posté par
pfffre : Fonctions Usuelles 12-12-20 à 17:20

lafol @ 12-12-2020 à 17:18

ceci dit, faudrait savoir, une fois tu parles de Arcsin (cos(2x)), une fois de Arcsin (2 cos x)
j'espère que tu saisis la différence ?


ah d'accord excusez moi c'est arcsin(cos2x)

Posté par
pfffre : Fonctions Usuelles 12-12-20 à 17:21

Citation :
arcsin(2cosx) est definie pour tout réel


erreur de frappe c'est arcsin(cos2x)

Posté par
lafol Moderateurre : Fonctions Usuelles 12-12-20 à 17:22

la période te permet de faire l'étude entre -pi et pi : ça a bien comme largeur 2pi
puis la parité te permet de ne faire l'étude qu'à droite de 0 ...

Posté par
pfffre : Fonctions Usuelles 12-12-20 à 17:27

merci beaucoup

Posté par
pfffre : Fonctions Usuelles 13-12-20 à 00:31

3.

. x [ 0 , \frac{\pi }{2} ] \subset [ 0 , \pi ] donc arcos(cosx) = x

. x [ 0 , \frac{\pi }{2} ] donc 2x [ 0 , \pi donc arcsin(cos2x) = \frac{\pi }{2} - 2x

conclusion : x [ 0 , \frac{\pi }{2} ] g(x) = \frac{\pi }{2} - x

4)

. x [ \frac{\pi }{2} , \pi ] \subset [ 0 , \pi ] donc arcos(cosx) = x

. pour x [ \frac{\pi }{2} , \pi ] 2x [ , 2 ]

on a alors cos(2x) = cos(2x-2)
comme cos(2x-2) [ 0 , ] alors arcsin(cos(2x-2)) = \frac{5\pi }{2} - 2x

conclusion pour x [ \frac{\pi }{2} , \pi ], g(x) = \frac{5\pi }{2} - x

Posté par
pfffre : Fonctions Usuelles 13-12-20 à 00:31

merci de me corriger

Posté par
lafol Moderateurre : Fonctions Usuelles 13-12-20 à 18:10

Je ne comprends pas la deuxième ligne, tu as appris par cœur un truc genre si x est entre 0 et pi, arcsin (cos x) = pi/2 -x

Posté par
pfffre : Fonctions Usuelles 13-12-20 à 20:55

Oui

Posté par
lafol Moderateurre : Fonctions Usuelles 13-12-20 à 21:56

Alors admettons, reste que dans le 4, si pi < 2x < 2pi, alors pi - 2pi < 2x-2pi < 2pi - 2pi

ce n'est pas ce que tu as écrit

Posté par
pfffre : Fonctions Usuelles 13-12-20 à 22:15

donc le 3 est juste ?

Citation :
. x [ \frac{\pi }{2} , \pi ] \subset [ 0 , \pi ] donc arcos(cosx) = x

. pour x [ \frac{\pi }{2} , \pi ] 2x [ , 2 ]

on a alors cos(2x) = cos(2x-2)
comme cos(2x-2) [ 0 , ] alors arcsin(cos(2x-2)) = \frac{5\pi }{2} - 2x

conclusion pour x [ \frac{\pi }{2} , \pi ], g(x) = \frac{5\pi }{2} - x


merci beaucoup c'est une erreur

. pour x [ \frac{\pi }{2} , \pi ] 2x [ , 2 ]

alors cos(2x) = cos ( 2 - 2x )

comme 2-2x   [ 0 , ] alors arcsin(cos(2-2x)  = -\frac{3\pi }{2} + 2x

conclusion pour x [ \frac{\pi }{2} , \pi ], g(x) = -\frac{3\pi }{2} + 3x


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