Niveau BTS

Fontion logarithme

Posté par désert (invité) 19-01-07 à 20:30

Bonsoir,

Je dois étudier les variations de la fontion g(x)=1+x lnx définie sur ]0;+inf[ et en déduire que g a un minimum strictement positif sur cet intervalle.
J'ai donc g'(x)=lnx+1. La fontion décroit et croit. Avec un minimum (1-e-1) en x=e-1. Mais je n'arrive pas à montrer que c'est strictement positif. Si quelqu'un peut m'aider, merci.

Posté par NESSSSSSS (invité)re : Fontion logarithme 19-01-07 à 20:45

Coucou !

Je suis d'accord avec ta dérivée. Ensuite, il faut résoudre g'(x)=0:
$g'(x)=0$
$\Longleftrightarrow ln(x) +1=0$
$\Longleftrightarrow ln(x) = -1$
$\Longleftrightarrow x = e^{-1}$

Ensuite, tu peux faire un tableau de variations:
$\begin{tabular}{|c|ccccccc||}x&0&&e^{-1}&&+\infty \\{signe}& &-&0&+& \\{variation}&&\searrow&&\nearrow&&\\\end{tabular}$

Maintenant, pouur montrer que g>0 pour tout x de ton intervalle, il faut calculer $g(e^{-1})$ :
$g(e^{-1})=1+e^{-1} \times ln(e^{-1})$
$g(e^{-1})=1+e^{-1} \times (-1)$
$g(e^{-1})=1-e^{-1}$

Et si tu calcules une valeur approchée à la calculatrice, tu trouveras certaiment une valeur strictement positive, non?

Ai je répondu à ta question?

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