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fontions périodiques et séries de fourier

Posté par matou (invité) 08-02-06 à 13:24

[/sub]
  Salut,

   Voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre:

1)

  Montrer que n,\ 2    n[sub]k=-n eik = sin((n+(1/2)))/sin(/2)


Pour cette question je pense qu'il faut utiliser une suite géométrique mais je ne vois pas laquelle.




2)

    Pour n*, développer p=0npk=-peik sous la forme  nk=-n k,neik où les k,n sont des réels à déterminer.



  Je n'ai pas d'idées pour cette question




3)

   en considérant p=0n =sin((p+(1/2)))/sin(/2); montrer que:
  n,\ 2, k=-nn  (1-(valabs(k))/(n+1))eik  =(1/(n+1)) (sin((n+1)/2))/sin (/2))2


   je n'ai pas d'idées sur cette question

on donne alors ,n()=k=-nn  (1-(valabs(k))/(n+1))eik


4)
montrer que n est continue sur , 2 périodique, paire, positive ou nulle et déterminer 1/(2)- n()d


je suis arrivé à montrer la périodicité, le signe mais pas le reste.



5)

  soit r un réel appartenant ]0,1[. Montrer que pour tout réel on a :

         (1-r2)/(1+r2-2r*cos())= 1+2k=1+  rk*cos (k)

  Je n'ai pas d'idées pour résoudre cette question.


                        
                                                       Merci d'avance, Au revoir
                                                              MATH

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 08-02-06 à 13:31

Bonjour,

Pour 1), il n'y a qu'une suite géométrique possible : la suite de premier terme ... et de raison e^{i\theta} !

Nicolas

Posté par matou (invité)fonction périodiques et séries de fourier 08-02-06 à 15:17



salut Nicolas,

  comment faut il faire alors pour résoudre cette question.

                                                     Merci d'avance, Au revoir
                                                            MATH

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 08-02-06 à 16:22

Tu pourrais au moins essayer de mettre en oeuvre l'indice donné.
C'est de niveau Terminale confirmé.

4$\Bigsum_{k=-n}^ne^{ik\theta}=e^{-in\theta}\frac{e^{i(2n+1)\theta}-1}{e^{i\theta}-1}
4$=e^{-in\theta}\frac{e^{i(n+\frac{1}{2})\theta}\left[e^{i(n+\frac{1}{2})\theta}-e^{-i(n+\frac{1}{2})\theta}\right]}{e^{i\frac{\theta}{2}}\left[e^{i\frac{\theta}{2}}-e^{-i\frac{\theta}{2}}\right]}
4$=\frac{2\sin(n+\frac{1}{2})\theta}{2\sin\frac{\theta}{2}}
4$=\frac{\sin(n+\frac{1}{2})\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}

Sauf faute de frappe.

Nicolas

Posté par matou (invité)fonction périodiques et séries de fourier 08-02-06 à 23:44



  salut Nicolas,

  Désolé j'avais essayé cette suite mais j'avais oublié de multiplier par le premier terme.

   Pour la question 2, je pense qu' il faut trouver k,n=(1-(valabs(k)/(n+1))) d'après la suite du problème mais je ne vois pas comment faire.

                                               Merci d'avance, AU revoir
                                                   Encore désolé
                                                        MATH

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 09-02-06 à 03:35

2)
Il me semble qu'il suffit d'échanger les 3$\Sigma, en faisant un petit schéma.

3$\Bigsum_{p=0}^n\Bigsum_{k=-p}^pe^{ik\theta}
=3$\Bigsum_{k=-n}^n\Bigsum_{p=|k|}^ne^{ik\theta}
=3$\Bigsum_{k=-n}^n e^{ik\theta}\Bigsum_{p=|k|}^n1
=3$\Bigsum_{k=-n}^n (n-|k|+1)e^{ik\theta}

J'ai fait cela vite. A vérifier !

Nicolas

Posté par matou (invité)fonction périodiques et séries de fourier 09-02-06 à 10:46



  Salut,

Dans la question 3, je ne vois comment utiliser la somme qu'il donne comme indice. Peut être faut il transformer l'expression avec des eik.


                                                  Merci d'avance, Au revoir
                                                          MATH

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 09-02-06 à 15:06

Ton énoncé du 3) est incomplet.

Posté par matou (invité)fonction périodiques et séries de fourier 09-02-06 à 17:38



   salut Nicolas,

Je confirme l'énoncé de la question 3)
C'est peut être la façon avec laquelle j'ai écrit l'énoncé que tu ne comprends pas.

                                                        MATH
                                                  

Posté par matou (invité)fonction périodiques et séries de fourier 10-02-06 à 00:19



  salut,

  Pour la question 4); je ne vois comment prouver que la fonction est continue. J'ai aussi des problèmes pour montrer qu'elle est paire (faut il utiliser la forme avec les sinus).


                                                      Merci d'avance, Au revoir
                                                             MATH

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 10-02-06 à 01:15

Que signifie :
p=0n = sin((p+(1/2)))/sin(/2) ?

Il manque quelque chose avant le signe "égal". On prend la somme de quoi ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 10-02-06 à 10:14

Je crois que j'ai compris. Il n'y a pas de signe "égal". Heureusement que je t'ai demandé de relire l'énoncé, sinon je ne sais pas ce que cela aurait donné...

La question 3) ne présente aucune difficulté. Il suffit de dérouler les calculs.

L'énoncé propose de considérer 3$\bigsum_{p=0}^n\frac{\sin(p+\frac{1}{2})\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}
Sous-entendu : exprimer cette somme de deux manières.
Allons-y !

a) D'une part, on peut calculer cette somme de sinus en passant par les complexes et en reconnaissant une suite géométrique, avec la méthode habituelle :
3$\bigsum_{p=0}^n\frac{\sin(p+\frac{1}{2})\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}=\frac{1}{\sin\frac{\theta}{2}}\bigsum_{p=0}^n\scr{Im}(e^{i(p+\frac{1}{2})\theta})=...=\left(\frac{\sin\frac{n+1}{2}\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\right)^2

b) Par ailleurs, utilisons la question 1) puis la question 2) :
3$\bigsum_{p=0}^n\frac{\sin(p+\frac{1}{2})\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}=\bigsum_{p=0}^n\Bigsum_{k=-p}^pe^{ik\theta}=\Bigsum_{k=-n}^n (n-|k|+1)e^{ik\theta}

Donc :
3$\Bigsum_{k=-n}^n (n-|k|+1)e^{ik\theta}=\left(\frac{\sin\frac{n+1}{2}\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\right)^2

Divisons chaque membre par n+1 :
3$\fbox{\Bigsum_{k=-n}^n (1-\frac{|k|}{n+1})e^{ik\theta}=\frac{1}{n+1}\left(\frac{\sin\frac{n+1}{2}\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\right)^2}

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par matou (invité)fonction périodiques et séries de fourier 10-02-06 à 11:12



  Salut Nicolas,

Désolé je n'avais pas vu cette erreur. De plus à l'heure où tu as envoyé ton premier message je dormais donc je n'ai pas pu répondre.
En fait je suis arrivé à faire cette question, c'est pour quoi je ne comprenais pas ta remarque.
Pour la question 4, je n'arrive pas à montrer la continuité.

                                                     Merci d'avance, Au revoir
                                                             MATH

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 10-02-06 à 12:42

Ne le prends pas mal, mais, pour ma part, j'en reste là.

Si tu relis nos "échanges" ci-dessus, tu t'aprecevras que j'ai résolu les 3 premières questions les unes après les autres, sans que tu nous aies fait part un seul instant de tes propres recherches, des pistes que tu as essayées, ...

Je ne dis pas que tu cherches pas. Je dis juste que tu ne le montres pas.

Cordialement,

Nicolas

Posté par matou (invité)fonction périodiques et séries de fourier 10-02-06 à 22:54




   salut,


Pour la question 4), pour calculer je pense qu'il faut utiliser le théorème de convergence dominée, mais je n'arrive pas l'appliquer; en effet je ne trouve pas la limite quand n tend vers l'infini de n.
Pour la question 5, je vois pas par où commencer les calculs.


                                                   Merci d'avance, Au revoir    
                                                          MATH

Posté par matou (invité)fonction périodiques et séries de fourier 12-02-06 à 12:22




  Salut,

  Pour la question 4, la continuité me parait évidente puisque la fonction est définie pour tout mais je n'en suis pas sûr. Ensuite , je n'arrive pas à calculer l'intégrale.
  Pour la question 5, je n'ai pas d'idées pour commencer les calculs. Faut-il mieux commencer par le membre de droite ou celui de gauche?


                                                Merci d'avance, Au revoir
                                                        MATH


                                                      

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 13-02-06 à 04:20

Je m'étais promis de ne plus intervenir, mais cela me démange trop, à la lecture de certaines phrases.

"Pour la question 4, la continuité me parait évidente puisque la fonction est définie pour tout \theta mais je n'en suis pas sûr."
Donc une fonction définie sur \mathbb{R} est automatiquement continue sur \mathbb{R} ?
3$f\quad :\quad \theta\mapsto\{{1/\theta\quad\textrm{pour}\quad \theta<0\\0\quad\textrm{pour}\quad \theta=0\\1/\theta\quad\textrm{pour}\quad \theta>0}
est donc continue ?

Dans notre cas, la continuité de \Phi_n est très simple à démontrer :
2$\Phi_n(\theta)=\Bigsum_{k=-n}^n (1-\frac{|k|}{n+1})e^{ik\theta}=\{{\frac{1}{n+1}\left(\frac{\sin\frac{n+1}{2}\theta}{\sin\frac{\theta}{2}}\right)^2=(n+1)\frac{\left(\frac{\sin\frac{n+1}{2}\theta}{\frac{n+1}{2}\theta}\right)^2}{\left(\frac{\sin\frac{\theta}{2}}{\frac{\theta}{2}}\right)^2}\quad\textrm{pour}\quad\theta\not\in 2\pi\mathbb{Z}\\\Bigsum_{k=-n}^n \left(1-\frac{|k|}{n+1}\right)=n+1\quad\textrm{pour}\quad\theta\in 2\pi\mathbb{Z}}

\Phi_n est continue sur \mathbb{R}\setminus 2\pi\mathbb{Z} comme rapport de deux fonctions continues, celle du dénominateur ne s'annulant pas.
La continuité en chaque point de 2\pi\mathbb{Z} est une conséquence de \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=0

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 13-02-06 à 12:36

Autre méthode, plus simple :
3$\theta\to e^{ik\theta} est continue de \mathbb{R} dans \mathbb{C} donc \Phi_n est aussi continue comme somme de fonctions continues.

Posté par
kaiser Moderateurre : fontions périodiques et séries de fourier 13-02-06 à 21:50

Bonsoir NIcolas_75

Je pense que c'était une faute de frappe lorsque tu écris que \lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=0.

Kaiser

Posté par johnrawls (invité)re : fontions périodiques et séries de fourier 14-02-06 à 00:56

Juste pour venir compléter la réponse de kaiser pour ceux qui ne seraient pas au courant. Je le dis pour le fun même si ca a été sans doute dit à de multiples reprises : (sin x) / x a pour limite 1 en 0 (équivalence classique pour les préparationnaires , limite classique pour les terminales).

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 14-02-06 à 00:56

Bonjour kaiser, et merci d'avoir relevé !
C'est bien une faute de frappe , comme l'indique le reste de ma mini-démonstration.
3$\fbox{\lim_{x\to 0}\frac{sin(x)}{x}=1} !!!!

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 14-02-06 à 00:57

(Je veux dire : le message de 4h20 montre bien que j'utilise la limite 1... en écrivant le contraire !)

Posté par
kaiser Moderateurre : fontions périodiques et séries de fourier 14-02-06 à 20:33

Bonsoir Nicolas_75

En même temps, tu avais des circonstances atténuantes : il était quand même 4h20 !!

Kaiser

Posté par matou (invité)fonctions périodiques et séries de fourier 15-02-06 à 12:08



  Salut,

  pour la quetion 4,

  grâce au théorème de convergence dominée, on a:

  -k=-nn(1-(valabs(k)/(n+1))) eik =   k=-nn-(1-(valabs(k)/(n+1))) eik

  ensuite pour l'intégrale, je trouve un résultat égal à 2eik.
Par conséquent, le résultat est  sin((n+0.5)/sin (/2 ) grâce au résultat de la question 1.

  Est-ce que ce résultat est correct, je n'en suis pas sûr.


Pour la question 5, je ne vois pas comment commencer les calculs.



                                                     Merci d'avance, Au revoir
                                                                 MATH
                                        

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 15-02-06 à 12:37

J'avoue que je suis complètement perdu dans ces propositions.
a) Les intégrales ne veulent rien dire sans un d... à la fin
b) Pas besoin du théorème de convergence dominée pour inverser un signe d'intégration et une somme (avec un nombre fini de termes), non ?
c) Quand tu intègres par rapport à theta, tu ne dois pas trouver de theta à la fin...
En résumé : je ne comprends pas.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 15-02-06 à 12:44

Il me semble qu'il suffit de dérouler les calculs, et que cela ne présente aucune difficulté :
3$\frac{1}{2\pi}\Bigint_{-\pi}^{\pi}\Phi_n(\theta)\textrm{d}\theta=\frac{1}{2\pi}\Bigint_{-\pi}^{\pi}\left{\Bigsum_{k=-n}^n\left(1-\frac{|k|}{n+1}\right)e^{ik\theta}\right}\textrm{d}\theta
3$=\frac{1}{2\pi}\Bigsum_{k=-n}^n\left{\left(1-\frac{|k|}{n+1}\right)\Bigint_{-\pi}^{\pi}e^{ik\theta}\textrm{d}\theta\right}
Or 3$\Bigint_{-\pi}^{\pi}e^{ik\theta}\textrm{d}\theta=\frac{e^{ik\pi}-e^{-ik\pi}}{ik}=\frac{2i\sin k\pi}{ik}=2\frac{(-1)^k}{k}
Donc...

Sauf erreur.

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 15-02-06 à 14:23

Je fatigue, moi !

3$\frac{1}{2\pi}\Bigint_{-\pi}^{\pi}\Phi_n(\theta)\textrm{d}\theta = \frac{1}{2\pi}\Bigsum_{k=-n}^n\left{\left(1-\frac{|k|}{n+1}\right)\Bigint_{-\pi}^{\pi}e^{ik\theta}\textrm{d}\theta\right}
3$= 1+\frac{1}{2\pi}\Bigsum_{-n\le k\le n, k\neq 0}\left{\left(1-\frac{|k|}{n+1}\right)\Bigint_{-\pi}^{\pi}e^{ik\theta}\textrm{d}\theta\right}
Or, pour 3$k\neq 0, 3$\Bigint_{-\pi}^{\pi}e^{ik\theta}\textrm{d}\theta=\frac{e^{ik\pi}-e^{-ik\pi}}{ik}=\frac{2i\sin k\pi}{ik}=0
Donc : 3$\fbox{\frac{1}{2\pi}\Bigint_{-\pi}^{\pi}\Phi_n(\theta)\textrm{d}\theta = 1}

Sauf (nouvelle) erreur.

Nicolas

Posté par matou (invité)fonctions périodiques et séries de Fourier 17-02-06 à 16:34




   Salut,


  Pour la question 5., je coince dans mes calculs; voilà où j'en suis:

    (1-r2)/(1+r2-2rcos) =  (1+r2-2rcos) /(1+r2-2rcos)+ (-2r2+2rcos)(1+r2-2rcos)

                          =

Posté par matou (invité)fonctions peériodiques 17-02-06 à 16:40



  Désolé erreur de manipulation
  il manque un signe / à la fin de l'expression

(1-r2)/(1+r2-2rcos)=1+2(-r2+rcos)/(1+r2-2rcos)


  Ensuite je n'arrive pas à continuer les calculs, je suis peut-être proche mais je n'en suis pas sûr.



                                                    Merci d'avance, Au revoir
                                                            MATH

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 17-02-06 à 16:40

Euh... de rien.

Posté par matou (invité)fonctions périodiques 17-02-06 à 17:56



  Salut Nicolas,

  J'ai oublié de te remercier pour tes différentes réponses que tu m'as donnée et qui m'ont étée d'une grande aide mais le fait que je bloque sur ce calcul m'a fait oublié les règles basiques de politesse.


                                             Encore désolé
                                                MATH

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : fontions périodiques et séries de fourier 17-02-06 à 18:02

Je t'en prie.

Posté par matou (invité)fonctions périodiques et séries de Fourier 17-02-06 à 23:22



  Salut,

  Je voudrais savoir si mes calculs sont bons et si c'est la bonne méthode de résolution que j'utilise.


                                                      Merci d'avance, Au revoir
                                                             MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : fontions périodiques et séries de fourier 17-02-06 à 23:39

Tes derniers calculs sont corrects.
Cependant, je te propose d'abord de calculer la somme \large{\bigsum_{n=1}^{+\infty}r^{n}cos(n\theta)}.

kaiser

Posté par matou (invité)fonctions périodiques et séries de Fourier 17-02-06 à 23:47



  Salut KAISER,

  Pour calculer cette sommme, j'ai essayé avec des suites géométriques en décomponsant avec des exponentielles. Est-ce correct?


   MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : fontions périodiques et séries de fourier 17-02-06 à 23:48

Oui, tu peux faire comme ça !

Posté par matou (invité)fonctions périodiques et séries de Fourier 18-02-06 à 22:08



  salut KAISER,

  Je suis arrivé à trouver le résultat souhaité; Merci de ton aide.


           MATH

Posté par
kaiser Moderateurre : fontions périodiques et séries de fourier 18-02-06 à 22:29

Mais je t'en prie !


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