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Forme bilinéaire

Posté par
Koobra 24-09-18 à 14:57

Bonjour à tous,

Soit b une application bilinéaire, f et g deux applications dérivables en a.

J'ai besoin de montrer que b(f,g)' = b(f',g) + b(f,g')

Par là j'aimerai utiliser la formule avec les « a + h »
Cependant je bloque sur le développement de l'expression :
b(f(a+h),g(a+h)), c'est juste cette étape car je pense être capable de faire la suite une fois le developpement effectué..

Pouvez-vous me rappeler ce développement ?

Merci d'avance ^^'

Koobra

Posté par
jsvdbre : Forme bilinéaire 24-09-18 à 15:05

Bonjour Koobra.

Ecris simplement que si une fonction f est dérivable alors f(x+h) = f(x) + hf'(x) + o(h).

Ensuite tu linéarises gaiement.

J'imagine en outre que b est continue ... juste comme ça ... au cas où ... dès fois que ça pourrait servir

Posté par
jsvdbre : Forme bilinéaire 24-09-18 à 15:19

Le fait que b soit continue, on s'en fiche royalement en réalité

Posté par
Poncarguesre : Forme bilinéaire 24-09-18 à 16:14

Non, on s'en fiche pas royalement, même si ca n'a pas non plus une importance folle.

Posté par
Poncarguesre : Forme bilinéaire 24-09-18 à 16:18

Il est aussi probable que l'on se place en dimension finie et les applications bilinéaires sont continues.

Posté par
luzakre : Forme bilinéaire 24-09-18 à 17:36

Pour répondre à la demande de Koobra je ferais :
B(f(a+h),g(a+h))-B(f(a),g(a))=B(f(a+h)-f(a),g(a+h))+B(f(a),g(a+h)-g(a))
puis par linéarité, pour h\neq0

\dfrac{B(f(a+h),g(a+h))-B(f(a),g(a))}h=B\Bigl(\dfrac{f(a+h)-f(a)}h,g(a+h)\Bigr)+B\Bigl(f(a),\dfrac{g(a+h)-g(a)}h\Bigr)

puis passer à la limite en tenant compte de la continuité de g en a (conséquence de la dérivabilité) et de la continuité de l'application B.

Posté par
jsvdbre : Forme bilinéaire 24-09-18 à 18:58

Pourquoi je suis revenu sur ce que j'ai dit !?!?

Posté par
Koobrare : Forme bilinéaire 24-09-18 à 22:55

Bonsoir, merci à tous mais je dois vraiment passer par b(f(a+h),g(a+h)), donc quelle est son développement maximal ? (en sachant que b est bilinéaire)

Posté par
jsvdbre : Forme bilinéaire 24-09-18 à 23:07

A un moment donné, il faut bien revenir à la définition de la dérivée.

Comment montre-t-on que (f+g)' = f'+g' ?
En écrivant (f+g)(x+h) - (f+g)(x) = ... et on regarde s'il apparaît un nombre dérivé.

Là, c'est pareil : on doit commencer par former la quantité b(f,g)(x+h) - b(f;g)(x) = ... et on regarde s'il apparaît un nombre dérivé.

Posté par
luzakre : Forme bilinéaire 24-09-18 à 23:23

Koobra @ 24-09-2018 à 22:55

Bonsoir, merci à tous mais je dois vraiment passer par b(f(a+h),g(a+h)), donc quelle est son développement maximal ? (en sachant que b est bilinéaire)

Tu as lu ma réponse ?
Si ce n'est pas un développement de B(f(a+h),g(a+h)) utilisant la bilinéarité, qu'est-ce-c'est ?
Mais, c'est vrai, je ne sais pas ce que veut dire "développement maximal" !

Posté par
jsvdbre : Forme bilinéaire 24-09-18 à 23:31

Je pense, luzak, qu'une petite explication s'impose pour notre ami Koobra :

Koobra @ 24-09-2018 à 22:55

mais je dois vraiment passer par b(f(a+h),g(a+h)), [***] (en sachant que b est bilinéaire)

Bon, il est vrai que l'ensemble des formes bilinéaires sur \R est assez restreint. Elles sont de la forme (x,y) \mapsto \lambda.x.y (sauf erreur)
Donc il est clair que b(f;g)' = b(f';g) + b(f;g') s'obtient assez facilement avec la formule du produit.

Mais, maintenant, on peut aussi opérer en toute généralité : soient E et F deux espaces vectoriels

f : E \rightarrow \R

g : F \rightarrow \R

b: E \times F \rightarrow \R, bilinéaire, supposée continue (on n'a plus le choix ici)

Ainsi, b \circ (f \times g) : E\times F \rightarrow \R

Alors pour montrer b(f;g)' = b(f';g) + b(f;g') , eh bien ! pas de tergiversations possibles :

on pose b \circ (f \times g)(X+H) - b \circ (f \times g)(X) = \cdots et on regarde s'il apparaît un nombre dérivé.

Notation : si X = (x;y) \in E \times F alors b \circ (f \times g)(X) = b(f(x);g(y))

Posté par
jsvdbre : Forme bilinéaire 24-09-18 à 23:34

Et donc le calcul est plus général que celui de luzak : il faut calculer b(f(x+h);g(y+k)) - b(f(x);g(y)) = \cdots

Posté par
verdurinre : Forme bilinéaire 24-09-18 à 23:39

Bonsoir,
il me semble incorrect d'étudier b(f(a+h),g(a+h)).
On obtient ainsi une dérivée directionnelle.

Il me semble plus précis de regarder b(f(a+u),g(a+v)) quand u et v tendent vers zéro.

On a alors
b(f(a+u)\, ; g(a+v)=b\Bigl(f(a)+uf'(a)+o(u)\, ; g(a)+vg'(a)+o(v)\Bigr)
et on utilise la bilinéarité de b pour écrire :
b(f(a+u)\, ; g(a+v)=b\Bigl(f(a)\, ; g(a)+vg'(a)+o(v)\Bigr)+b\Bigl(uf'(a)\, ; g(a)+vg'(a)+o(v)\Bigr)+b\Bigl(o(u)\, ; g(a)+vg'(a)+o(v)\Bigr)

Et on continue.

La continuité de b étant effectivement indispensable pour conclure.

Posté par
luzakre : Forme bilinéaire 25-09-18 à 08:07

En principe, quand on me parle de "fonction dérivable" je pense en priorité à une fonction d'une variable réelle.
Les deux dernières interventions concernent en fait des "fonctions différentiables" ce qui n'était pas indiqué à priori !
Et dans ce cas, au lieu de  compliquer (en évitant de développer une forme bilinéaire avec tous ces petit "o")  il me semble plus simple de dire :
Une application bilinéaire continue est différentiable.
La composée de fonctions différentiables l'est aussi.

Posté par
jsvdbre : Forme bilinéaire 25-09-18 à 12:07

Tout d'abord un erratum à mon post :

Citation :

f : E \rightarrow \R

g : F \rightarrow \R

B: {\red \R\times \R } \rightarrow \R, bilinéaire, supposée continue (on n'a plus le choix ici)

Ainsi, b \circ (f \times g) : E\times F\rightarrow \R

Ce qui fait donc que ma généralisation n'en n'est pas réellement une puisque l'on connaît les formes bilinéaire sur \R

Si l'on souhaite réellement généraliser, il faudrait :

f : E_1 \rightarrow E_2 \\ g : F_1 \rightarrow F_2 \\ B : E_2\times F_2 \rightarrow \R, les Ei, Fi étant des ev, b bilinéaire continue.

Ainsi, B \circ (f \times g) : E_1\times F_1\rightarrow \R

Et, oui, luzak, tu as raison, on passe en différentiabilité et il faudrait plutôt utiliser une notation du type D avec quelque chose qui ressemblerait à

\begin{aligned}DB(f;g)(x;y) & = DB(f(x);g(y))\circ D(f\times g)(x;y) \\ & =DB(f(x);g(y))\circ (Df(x)\times Dg(y)) \\ & = B(f(x);Dg(y)) + B(Df(x);g(y))\end{aligned}

Cela dit, dans le cas particulier f : \R \rightarrow E,~g : \R \rightarrow F,~B : E\times F\rightarrow \R, les fonctions f et g sont bien dérivables et on peut réutiliser la notation f' et g'.

Mézalors, cette fois, on a un hybride : DB(f;g) = B(f';g) + B(g;f')

Conclusion : la notation B(f;g)' = B(f';g) + B(g;f') ne sera donc utilisable que pour f et g présupposées réelles (allez ! voire complexe) de la variable réelle (complexe).

Posté par
zozianore : Forme bilinéaire 12-10-18 à 02:26

Dans toute cette ressource, le corps de base K des espaces vectoriels considérés est soit le corps des nombres réels soit le corps des nombres complexes. Il s'agit ici d'une première ressource sur le sujet. Son objectif est de pouvoir être utilisée dans différents contextes.


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