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Forme différentielle

Posté par
jsvdb 05-06-23 à 15:10

Bonjour à tous

Je considère le forme différentielle (bien connue) : \omega = \frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{-x}{x^2+y^2}dy définie sur le disque D ouvert centré en (2,0) et de rayon 1.
Sur ce disque, la singularité en (0,0) n'y figure pas, \omega y est bien fermée et donc elle y est exacte car D est convexe (donc étoilé ou simplement connexe)

Du coup on prend les primitives bien connues de \omega que sont les f(x,y) = \arctan(\frac{x}{y})+c, c\in \R ... et on est obligé de supprimer la partie du disque qui se trouve sur l'axe des abscisses.

Ma question est la suivante : pourquoi \omega est bel et bien exacte sur D mais que les primitives ne peuvent y être définies qu'en donnant un coup de ciseau à D ?

On note qu'à contrario, avec la forme \alpha = \frac{2x}{x^2+y^2}dx+\frac{2y}{x^2+y^2}dy dont les primitives sont données par g(x,y) = \ln(x^2+y^2)+k, le problème ne se pose pas !

Je vous remercie d'avance pour vos éclaircissements.

NB : C'est une recherche personnelle en vue de la compréhension du chapitre sur les formes différentielles.

Posté par
Camélia Correcteurre : Forme différentielle 05-06-23 à 15:26

Bonjour

Pourquoi veux-tu enlever l'axe des abscisses? la fonction arctangente est bien définie en 0.

Posté par
GBZMre : Forme différentielle 05-06-23 à 15:44

Bonjour,

Camelia, c'est \arctan(x/y).

jsvdb, essaie plutôt 2 \arctan(x/(y\sqrt(x^2+y^2})) (classiquement connu comme \mathrm{atan2}(x,y)).

Posté par
GBZMre : Forme différentielle 05-06-23 à 15:46

\large 2 \arctan\left(\dfrac{x}{y+\sqrt{x^2+y^2}}\right)

c'est mieux

Posté par
jsvdbre : Forme différentielle 05-06-23 à 16:28

Merci à vous deux pour m'avoir répondu!
@GBZM : d'accord, je ne la connaissais pas ! Super !

Posté par
GBZMre : Forme différentielle 05-06-23 à 16:40

Dans ton exemple on a pu exprimer uneprimitive de la forme différentielle au moyen de la fonction \arctan. Mais il ne faut pas croire qu'il n'y a pas de primitive quand on ne sait pas l'exprimer au moyen de fonctions élémentaires.
Prends par exemple le domaine formé du complémentaire dans le plan de la réunion de l'origine et de la spirale logarithmique d'équation polaire \rho=e^\theta. Ta forme différentielle y a bien une primitive, mais on serait bien en peine de l'exprimer au moyen de la fonction \arctan.

Posté par
jsvdbre : Forme différentielle 05-06-23 à 20:30

Effectivement, le domaine en question est bien simplement connexe et le théorème de Poincaré vient à s'appliquer.
Mais il est trop complexe et même la fonction Atan2 n'y suffit pas.
J'imagine en revanche qu'on peut utiliser des expressions locales de primitives ?
NB : C'est comme la fonction 1/(1-z) qui peut avoir des expressions en série entières différentes selon le centre considéré

Bref pour résumer : "il ne faut pas croire qu'il n'y a pas de primitive quand on ne sait pas l'exprimer au moyen de fonctions élémentaires. " est probablement ce que je n'avais pas bien saisi.

Merci GBZM

Posté par
GBZMre : Forme différentielle 05-06-23 à 21:41

Avec plaisir.


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