Bonjour.
Le théorème qui te dit qu'une forme est fermée si et seulement si son intégrale sur tout chemin est nulle (théorème de Poincaré?) ne prendrai pas également pour hypothèse que ton domaine est simplement connexe?

Et puis pour le reste, il me semble que tout se passe localement:
localement holomorphe, admet localement des primitives etc.

Je n'aime pas cette approche de la théorie des fonctions holomorphes par les formes différentielles en première approche.
(en revanche, comme on a en débattu la dernière fois, je trouve ca essentielle).

Bonsoir lolo5959

Juste une précision, si je comprends bien D c'est bien ^*.
Autre chose, que veut dire "w est fermée" (je fais de l'analyse complexe aussi mais on a pas abordé le chapitre sous cet angle).

Néanmoins, je pense que pour que tout se passe bien le fait que l'ouvert soit connexe ne suffit pas : je pense qu'il doit plutôt être simplement connexe, mais bon, j'attends de voir ta réponse.

Kaiser

Bonjour otto et merci pour l'aide!

euh oui, si si, d'ailleurs dans mon énoncé, j'ai oublié D est simplement connexe,donc ça devrait vérifier le théorème....

Bonsoir kaiser et merci pour ton aide!

Oui, D est bien C étoile.
Et justement, d'après ce que j'ai compris,"w est fermée ssi son intégrale sur tout chemin de D est nulle",c'est tout ce que je sais!

Kaiser:
comme je l'ai dit l'autre fois dans un autre post, le livre de Cartan, à partir duquel semble travailler lolo, aborde la théorie des fonctions holomorphes comme des 1 formes différentielles.
Je trouve ca dommage car celà suppose d'avoir des connaissances en la matière...

Quoiqu'il en soit, une forme w est fermée si dw est nulle, où d est l'opérateur de dérivée extérieure (c'est un opérateur qui est uniquement determiné par certaines propriétés de linéarité et d'anticommutativité notamment, il généralise les notions de gradient, rotationnel et divergence en un seul opérateur notamment)

On peut montrer que w est fermé sur un domaine simplement connexe si et seulement si w est localement exacte (ie admet localement une "primitive" en ce sens que z est primitive de w si dz=w)
Il est clair qu'être exacte implique être fermé.
Ce théorème est le théorème de Poincaré.

Justement je pense que le problème vient de l'hypothèse de simple connexité qui n'est pas vérifiée dans l'exemple de lolo.
A+

euh oui, si si, d'ailleurs dans mon énoncé, j'ai oublié D est simplement connexe,donc ça devrait vérifier le théorème....

Heu...
Tu me dis que C* est simplement connexe c'est bien ca?

Ben en fait,c'est ce que j'ai marqué, oui...
Mais c'est vrai que maintenant que tu me dis ça, ça me parait bizar...

Oui effectivement que c'est bizarre, puisque C* n'est pas simplement connexe.

C'est assez facile à remarquer, le cercle unité est il homotope à un point?

Tu as un trou dans ton domaine, c'est justement la définition de ne pas être simplement connexe (multiplement connexe ?)

Connais tu la différence entre connexe, simplement connexe et connexes par arcs?

Dans notre cas, il n'y a pas de différence entre la première et la dernière.
Mais il y'a une différence de taille comme tu peux le voir, entre la première et la seconde...

Ben oui, mais le problème, c'est que justement ^* est connexe, certes, mais non simplement connexe. En effet, on "voit" bien qu'un lacet entourant 0 (par exemple, le cercle unité) n'est jamais homotope à un point dans ^*.

Justement,à ta question otto de 23h13, c'est vrai que j'ai un peu de mal avec tout ça, devant tout travailler toute seule... mais je crois avoir compris maintenant...

Je vais étudier tout ça...

Un grand merci à vous otto et kaiser, si j'ai encore une 'tite question, je reviendrai peut-être

Bonne soirée

De rien.

Soit X un espace topologique:
X est connexe si X est en un seul morceau (pas réunion de 2 ouverts non vides disjoints)
X est connexe par arcs, si pour toute paire de points a,b dans X, on peut trouver un arc qui relie a à b et qui reste dans X. Par exemple un convexe est connexe par arcs.
X est simplement connexe s'il n'a pas de trou (si toute courbe fermée est homotope à un point).

Dans le cas des ouverts de R^n (et donc de C^n) connexe équivaut à connexe par arcs.
A+

Mais je t'en prie, lolo5959.

Oulà, je sens que ça va m'être bien utile ce que tu m'as marqué!

(En plus, on a eu l'équivalence "dans le cas des ouverts de R^n (et donc de C^n) connexe équivaut à connexe par arcs" à démontrer en DS très récemment, et ne sachant déjà pas faire la différence entre les deux...).

Une nouvelle fois merci !