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forme linéaire/démonstration

Posté par Evgueny (invité) 10-08-05 à 22:48

Bonjour à tous,
petit problème pour une démonstration:
soit f une forme linéaire sur E.
Démontrer qu'il existe une unique matrice F de E telle que
pour tout M de Mn(R), f(M)= g(F,M)
avec g(A,B)=tr(tA.B)

J'avais pensé comparer g(A,B) avec une forme linéaire, ce qui me permettrait de trouver les coeff de F, mais comment prendre cette forme linéaire?
Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:forme linéaire/démonstration 11-08-05 à 00:53

Bonsoir Evgueny;
la réponse est un théorème:
Soit E un \mathbb{R}-espace vectoriel euclidien de dimension n.Pour toute forme linéaire f sur E il existe un unique vecteur u de E tel que: \forall x\in E f(x)=u.x
(. désignant le produit scalaire)
la preuve repose sur le fait que l'espace L(E,\mathbb{R}) est de dimension n et donc que la famille (f_i)_{1\le i\le n} (définie par f_{i}(x)=e_{i}.x (e_1,..,e_n) étant une base de E ) en est une base (puisque libre de cardinal n) en écrivant f=\Bigsum_{i=1}^{i=n}\alpha_{i}f_i il vient que:\forall x\in E f(x)=u.x avec u=\Bigsum_{i=1}^{i=n}\alpha_{i}e_i
Remarques:
* l'existence et l'unicité de u s'hérite de celles du n-uplet (\alpha_1,..,\alpha_n).
* dim(L(E,\mathbb{R}))=n vient de l'isomorphisme:
\Phi:L(E,\mathbb{R})\to {\mathbb{R}}^n f\to(f(e_1),..,f(e_n))

Posté par fat (invité)TRES DUR 11-08-05 à 00:58

CA A L AIR TRES DUR SE QUE TU FAIS C KEL NIVEAU

Posté par fat (invité)REPOND 11-08-05 à 01:03

C KEL NIVEAU CAR SI C SECONDE SA ME FAIT PEUR L ANNEE PROCHAINE JE SUIS EN SECONDE ET JE NE COMPREND RIEN  

Posté par
la_brintouillere : forme linéaire/démonstration 11-08-05 à 08:47

Bonjour,
fat, ce n'est pas du niveau seconde mais Maths Sup, et évite les majuscules stp...


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