Niveau maths spé

forme linéaire et topologie

Posté par
Sylphaen93 02-11-12 à 16:32

Soit E un K-evn , u une forme linéaire non nulle sur E , pour a dans K on pose :
$E(1)=\left \{ x\in E / u(x)=1 \right \}$
On suppose que E(1) est fermé ,
1-montrer que : $\exists r \in \mathbb{R}^{+}_*,\forall x \in B(0,r);|u(x)|\leq1$
2-m q : u est continue sur E ssi ker(u) est fermé dans E .

Posté par re : forme linéaire et topologie 02-11-12 à 18:01

Bonjour

Où est passé $a$ ?

1. On sait donc que $U=\{x\in E\mid |u(x)|\neq 1\}$ est ouvert.
Comme $0\in U$ il existe $r > 0$ tel que $B(0,r)\in U$ .

Supposons qu'il existe $y\in B(0,r)$ tel que $|u(y)| > 1$ . Alors $\left|u\left(\dfrac{1}{|u(y)|}y\right)\right|=1$ et $\dfrac{1}{|u(y)|}y\in B(0,r)$ ce qui est impossible.

2. Et si tu essayais de faire quelque chose?

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