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Forme quadratique

Posté par
Ehrmantraut 01-12-24 à 16:24

Bonjour,

J'ai un paraboloïde défini comme:
S=\{v \in \mathbb{R}³ : f(v)=0\} avec f(v)=2v_{1}v_{2}-v_{1}-2v_{2}+2v_{3} avec v_{1},v_{2},v_{3} les composantes du vecteur v.

Première étape, j'ai dû trouver le vecteur b \in \mathbb{R}³ et la matrice symétrique M (3x3) tels que:
f(v)=v^{T}Mv+b^{T}v notons que T en exposant signifie la transposée.

Je pense y être parvenu car j'ai M=\begin{pmatrix} \\ 0& 1& 0 \\ \\ 1& 0 & 0 \\ \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} et

b=\begin{pmatrix} \\ -1 \\ \\ -2 \\ \\ 2 \\ \end{pmatrix}

Là où ça coince:
Je dois trouver une base de R³ telle que dans cette nouvelle base: f'(w)=w^{T}M'w+b'^{T}w=0 où M' est une matrice diagonale.

J'ai pensé à diagonaliser M:
M=PDP^{T}

J'ai eu M=\begin{pmatrix} \\ 0& 1& 1 \\ \\ 0& 1 & -1 \\ \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \\ 0& 0& 0 \\ \\ 0& 1 & 0 \\ \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \\ 0& 0& 1 \\ \\ 1& 1 & 0 \\ \\ 1 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}

Ensuite, c'est le flou total
Auriez-vous des explications?


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