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Forme quadratique définie positive
Bonjour à tous et merci de me lire
En fait j'ai une question sur les fores quadratiques
Pour montrer qu'une forme quadratique est définie positive on montre que les valeurs propres de la matrice associée à cette forme quadratique sont strictement positives
J'utilise généralement cette méthode sans vraiment savoir d'où cette propriété pourrait provenir
En quoi la (stricte) positivité des valeurs propres garantie que la forme quadratique soit (définie) positive s'il vous plaît ?
Merci 🙏🏽
salut
dans l'expression "définie positive" il y a deux mots et chacun d'eux signifie quelques chose de précis ...
peux-tu rappeler leur définition ?
D'accord
Soit à une forme quadratique sur un espace vectoriel E
q est dite définie si 
x
E q(x)
0 et positive si xE q(x)
0
Et je lis même encore que lorsque q est définie positive le déterminant de sa matrice doit être strictement positif je ne comprends pas s'il vous plaît
donc tu as la réponse à ta question :
que se passe-t-il si une valeur propre est nulle ? si une valeur propre est négative ?
Bonjour,
Une petite erreur dans la définition d'une forme quadratique définie. Avec celle que tu as donnée, ausune forme quadratique n'est définie. Peux-tu relire et corriger ?
Je ne suis pas vraiment d'accord avec la phrase "Pour montrer qu'une forme quadratique est définie positive on montre que les valeurs propres de la matrice associée à cette forme quadratique sont strictement positives ". Si on a à sa disposition les valeurs propres, OK, Mais sinon, le moyen le plus aisé est d'utiliser la déomposition en carrés de Gauss, qui donne la signature de la forme quadratique.
Je m'en excuse
Elle est définie si xE\OE q(x)0E
En fait je sais bien qu'il y'a d'autres méthodes mais je souhaitais comprendre le sens de celle ci
donc tu as la réponse à ta question :
que se passe-t-il si une valeur propre est nulle ? si une valeur propre est négative ?
Je ne sais vraiment pas ce qui se passe je ne vois pas de rapport svp
Le théorème spectral te dit qu'une matrice symétrique réelle (matrice de la forme quadratique
) diagonalise dans une base orthonormale (pour le produit scalaire standard sur
) : il existe une matrice diagonale
et une matrice othogonale
telle que
.
La matrice est la matrice de
dans la base orthonormée de vecteurs propres (matrice de changement de base
), et ses coefficients diagonaux sont les valeurs propres de
. La signature de
est donc (nombre de v.p. >0, nombre de v.p. <0).
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