Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau école ingénieur
Partager :

Forme quadratique définie positive

Posté par
Maesan
09-12-22 à 11:14

Bonjour à tous et merci de me lire
En fait j'ai une question sur les fores quadratiques
Pour montrer qu'une forme quadratique est définie positive on montre que les valeurs propres de la matrice associée à cette forme quadratique sont strictement positives
J'utilise généralement cette méthode sans vraiment savoir d'où cette propriété pourrait provenir
En quoi la (stricte) positivité des valeurs propres garantie que la forme quadratique soit (définie) positive s'il vous plaît ?

Merci 🙏🏽

Posté par
carpediem
re : Forme quadratique définie positive 09-12-22 à 11:30

salut

dans l'expression "définie positive" il y a deux mots et chacun d'eux signifie quelques chose de précis ...

peux-tu rappeler leur définition ?

Posté par
Maesan
re : Forme quadratique définie positive 09-12-22 à 11:35

D'accord
Soit à une forme quadratique sur un espace vectoriel E
q est dite définie si xE q(x)0 et positive si xE q(x)0

Posté par
Maesan
re : Forme quadratique définie positive 09-12-22 à 11:35

Et définie positive q(x)>0

Posté par
Maesan
re : Forme quadratique définie positive 09-12-22 à 11:36

Soit q une forme quadratique*

Posté par
Maesan
re : Forme quadratique définie positive 09-12-22 à 12:39

Et je lis même encore que lorsque q est définie positive  le déterminant de sa matrice doit être strictement positif je ne comprends pas s'il vous plaît

Posté par
carpediem
re : Forme quadratique définie positive 09-12-22 à 12:40

donc tu as la réponse à ta question :

que se passe-t-il si une valeur propre est nulle ? si une valeur propre est négative ?

Posté par
GBZM
re : Forme quadratique définie positive 09-12-22 à 13:47

Bonjour,
Une petite erreur dans la définition d'une forme quadratique définie. Avec celle que tu as donnée, ausune forme quadratique n'est définie. Peux-tu relire et corriger ?
Je ne suis pas vraiment d'accord avec la phrase "Pour montrer qu'une forme quadratique est définie positive on montre que les valeurs propres de la matrice associée à cette forme quadratique sont strictement positives ". Si on a à sa disposition les valeurs propres, OK, Mais sinon, le moyen le plus aisé est d'utiliser la déomposition en carrés de Gauss, qui donne la signature de la forme quadratique.

Posté par
Maesan
re : Forme quadratique définie positive 09-12-22 à 15:52

Je m'en excuse
Elle est définie si xE\OE q(x)0E

En fait je sais bien qu'il y'a d'autres méthodes mais je souhaitais comprendre le sens de celle ci

Posté par
Maesan
re : Forme quadratique définie positive 09-12-22 à 15:53

E\0E
Pas OE désolée

Posté par
Maesan
re : Forme quadratique définie positive 09-12-22 à 15:54

carpediem @ 09-12-2022 à 12:40

donc tu as la réponse à ta question :

que se passe-t-il si une valeur propre est nulle ? si une valeur propre est négative ?

Je ne sais vraiment pas ce qui se passe je ne vois pas de rapport svp

Posté par
GBZM
re : Forme quadratique définie positive 09-12-22 à 17:05

Le théorème spectral te dit qu'une matrice symétrique réelle S (matrice de la forme quadratique q) diagonalise dans une base orthonormale (pour le produit scalaire standard sur \mathbb R^n) : il existe une matrice diagonale D et une matrice othogonale U telle que D=U^{-1}SU=U^{\mathsf T} S U.
La matrice D est la matrice de q dans la base orthonormée de vecteurs propres (matrice de changement de base U), et ses coefficients diagonaux sont les valeurs propres de S. La signature de S est donc (nombre de v.p. >0, nombre de v.p. <0).

Posté par
Maesan
re : Forme quadratique définie positive 09-12-22 à 19:17

d'accord c'est compris merci🙏🏽



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1677 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !