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Formes quadratiques : théorème spectral

Posté par
Garion 17-02-10 à 15:27

Bonjour,

Nous venons d'entamer les formes quadratiques, et nous avons donc commencé avec le théorème spectral.
Celui-ci dit: Soit appartient à R nxn, les conditions suivantes sont équivalentes :
1)A est symétrique
2)R^n admet une base orthonormée de vecteurs propres de A
3) Il existe une matrice orthogonale Q appartenant à R nxn et une matrice D diagonale appartenant à R nxn telle que A = (Q^-1).D.Q

J'ai deux question par rapport à ce théorème:
1) Si je comprends bien, toute matrices symétriques est diagonalisable? Est-ce vrai? (Vu le 3ème point).
2) Je comprends pas très bien le point 2. Pourquoi si R^n admet une base de vecteurs propre de A, A est symétrique?

Voila, merci beaucoup !!
Bonne journée

Garion

Posté par
Camélia Correcteurre : Formes quadratiques : théorème spectral 17-02-10 à 15:32

Bonjour

Oui, toutes les matrices symétriques sont diagonalisables.

La réciproque de 2). Si A admet une base formée de vecteurs propres elle est diagonalisable. Il existe donc une matrice inversible Q telle que A=Q^{-1}DQ. Mais ici les vecteurs propres forment une base orthonormale; dans ce cas Q^{-1}={}^tQ, donc A={}^tQDQ et il est immédiat que {}^tA=A

Posté par
gui_toure : Formes quadratiques : théorème spectral 17-02-10 à 17:13

Bonjour,

J'ajoute mon petit grain de sel ^^

Toutes les matrices symétriques réelles sont diagonalisables. Dans 3$\mathcal{M}_n(\mathbb{C}) ce n'est pas toujours vrai

Posté par
carrieresre : Formes quadratiques : théorème spectral 17-02-10 à 19:20

Contre exemple :
$ \begin{pmatrix} \\ 1&i \\ \\ i&-1 \\ \end{pmatrix}

La seule valeur propre est 0. Or la matrice est non-nulle, donc elle n'est pas diagonalisable.

Posté par
Garionre : Formes quadratiques : théorème spectral 17-02-10 à 19:45

     Tout d'abord, un grand merci pour vos réponses.

     Comme on commence à peine, on utilise pas encore les nombres complexes dans les formes quadratiques. Ca viendra plus tard sûrement. Mais au moins je suis fixé pour le rapport entre symétrique et diagonalisable.

     Par contre, je suis désolé, mais je ne vois toujours pas clairement le lien entre symétrique et base de vecteur propre. Je mets ce que je pense mais je suis pas sûr de moi.
Donc, vu que A est symétrique, elle est diagonalisable=> A = Q.D.(Q^-1) avec D diagonale avec les valeurs propres et les colonnes de Q les vecteurs propres. Donc il y a peut être histoire de combinaison linéaire quelque part peut être?? Ou je me plante totalement...

Voilà, dites moi.
Merci beaucoup et bonne soirée

Garion

Posté par
Camélia Correcteurre : Formes quadratiques : théorème spectral 18-02-10 à 14:11

Salut à tous! (c'était bien précisé qu'il s'agit de matrices réeelles)

J'ai écrit hier d'où ça venait. Simplement, si les colonnes d'une matrice forment une base orthonormale, alors {}^tQ=Q^{-1}


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