Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

Formule d'inversion

Posté par
monrow Posteur d'énigmes 07-10-07 à 12:54

Bonjour tout le monde,

donc encore un exercice de plus dans mo TD

Soit 3$(x_n) une suite de réels. On pose 3$y_n=\Bigsum_{k=0}^nC_n^kx_k

Montrer que: 3$(-1)^nx_n=\Bigsum_{k=0}^n(-1)^kC_n^ky_k

Merci d'avance

Posté par
Tigweg Correcteurre : Formule d'inversion 07-10-07 à 13:16

Salut moonrow!

Par récurrence tout simplement!
Pour l'hérédité, utilise la formule faisant intervenir x_{n+1} et y_{n+1}.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Formule d'inversion 10-10-07 à 22:31

allez je up..

j'essaie et je te dis ce que je trouve

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Formule d'inversion 10-10-07 à 22:46

voilà avec quoi j'ai commencé

3$\Bigsum_{k=0}^{n+1}(-1)^kC_{n+1}^ky_k=\Bigsum_{k=0}^{n}(-1)^kC_{n+1}^ky_k+(-1)^{n+1}y_{n+1}

le deuxième terme peut être remplacé par: 3$\Bigsum_{k=0}^{n+1}C_{n+1}^ky_k

on aura alors: 3$\Bigsum_{k=0}^{n+1}(-1)^kC_{n+1}^ky_k=\Bigsum_{k=0}^{n}(-1)^kC_{n+1}^ky_k+ C_{n+1}^ky_k=\Bigsum_{k=0}^{n}((-1)^k+1)C_{n+1}^ky_k

je ne sais pas comment simplifier ou comment utiliser HR pour trouver 3$(-1)^{n+1}x_{n+1}

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Formule d'inversion 10-10-07 à 23:02

désolé une erreur

à la fin on doit trouver:

3$\Bigsum_{k=0}^{n+1}(-1)^kC_{n+1}^ky_k=\Bigsum_{k=0}^{n}((-1)^k+(-1)^{n+1})C_{n+1}^ky_k

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Formule d'inversion 10-10-07 à 23:14

up

Posté par
Ksilverre : Formule d'inversion 10-10-07 à 23:38

mes amis Soyons subtile !



considerons la Loi de composition définit par :
(zn) = (xn)*(yn)
avec zn = somme de k=0 a n de (k parmi n) xn*y(n-k)

1) vérifie rapidement que * est comutative et associative.

2) la suite In valant 1 pour n=1 et0 sinon est element neutre pour cette loi.

3) l'inverse de la suite constante égal a 1 (qu'on notera 1) est la suite (-1)^n (faire le produit des deux)

4) reste plus uq'a conclure; Yn = Xn * 1, donc Xn = Yn * (-1)^n


Et vive l'algèbre !

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Formule d'inversion 10-10-07 à 23:43

c'est vrai qu'on a fait ça en terminale, mais on a plus le droit jusqu'à ce qu'on fasse le cours


cet exo figure parmi le chapitre de dénombrement, donc je pense qu'une réccurence qu'a proposé le tigre () doit faire l'affaire

tu peux m'aider puisqu'il n'est plus connecté

Posté par
Ksilverre : Formule d'inversion 10-10-07 à 23:43

NB : bien entendu, on peut faire tous cela sans parler de loi de composition, par un calcule directe, qui utilisera sans le dire et dans l'ordre tous les points précedents : tu calcule  l'expression qu'on te dit etre Xn en injectant l'expression de Yn, tu manipule un peu les sommes (comme tu le fera pour montrer l'associativité), pour faire apparaitre la somme correspondant aux 'produit' 1*(-1)^n, et tu le calcule pour simplifier la somme, et Hop il ne reste que Xn... c'est peut-etre meme plus court que ce que j'ai expliqué au poste précedent, mais tellement moins élégant !

Posté par
Ksilverre : Formule d'inversion 10-10-07 à 23:46

essai de le faire une fois comme je te l'ai éxpliqué, et apres tu a juste à "enchainé" tous les petites élement de la démonstration algébrque en un seul calcule (assez long au final...).

je pense que c'est nettement plus simple que la récurence (enfin... faut etre un peu habitué à manipuler les sommes, si tu es en début de sup tu manque peut-etre de pratique la dessus... mais c'est une bonne occasion d'apprendre non ?)

Posté par
Ksilverre : Formule d'inversion 10-10-07 à 23:47

Errata : il fallait "bien sur" lire :  2) la suite In valant 1 pour n=0 et0 sinon est element neutre pour cette loi.

Posté par
perroquetre : Formule d'inversion 10-10-07 à 23:56

Bonjour, monrow.

Une démonstration beaucoup moins élégante que celle de Ksilver.

\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k C^k_n y_k= \sum_{k=0}^n \left(\displaystyle (-1)^k C_n^k \sum_{i=0}^k C_k^i x_i\right)= \sum_{i=0}^n \left( \displaystyle x_i\sum_{k=i}^n (-1)^k C_n^k C_k^i \right)

Or, on vérifie rapidement que:

C_n^k C_k^i =C_n^i C_{n-i}^{k-i}

Donc:

\displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k C^k_n y_k= \sum_{i=0}^n \left((-1)^i C_n^i x_i\displaystyle\sum_{k=i}^n (-1)^{k-i} C_{n-i}^{k-i}\right)

Il ne reste plus qu'à appliquer la formule du binôme.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Formule d'inversion 10-10-07 à 23:58

je ferai l'exo avec les lci puis apprès tu me montreras comment faire semblant qu'on les a pas utilisées

on commence par la commutativité

comment montrer que: 3$\Bigsum_{k=0}^nC_n^kx_ky_{n-k}=\Bigsum_{k=0}^nC_n^ky_ky \\ x_{n-k}?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Formule d'inversion 11-10-07 à 00:01

salut perroquet

désolé je viens de voir ta proposition parce que je n'ai pas actualisé la fenêtre avant

je prend 5 petites minutes pour que je puisse comprendre

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Formule d'inversion 11-10-07 à 00:16

j'ai pas compris le passage de la 2e à la 3e étape

Posté par
Tigweg Correcteurre : Formule d'inversion 11-10-07 à 00:58

Bonsoir perroquet,
re monrow

Quand tu as deux sommes imbriquées du type 4$\bigsum_{k=0}^n\bigsum_{i=0}^ka_{i,k}

tu peux tracer un repère, avec k en abscisse variant de 0 à n, i en ordonnée variant de 0 à n.

Tu écris le terme 4$a_{i,k} à l'endroit du point de coordonnées (k,i)

puis tu interprètes ta double sommation:

à chaque abscisse k fixée, tu prends tous les a_i,k de i=0 à k, donc tu sommes les (k+1) premiers termes de la colonne.

Comme k se déplace,les colonnes montent de plus en plus, à la fin tu as sommé sur la partie inférieure à la diagonale d'équation y=x, diagonale incluse.

Or on peut sommer différemment:

à chaque ordonnée i entre 0 et n, on peut sommer en ligne en commençant à k=i,jusqu'à k=n.

On aura bien rempli à la fin la même partie du carré, donc sommé les mêmes termes!


D'où la formule utilisée par perroquet de la deuxième à la troisième étape:




4$\bigsum_{k=0}^n\bigsum_{i=0}^ka_{i,k}=\bigsum_{i=0}^n\bigsum_{k=i}^na_{i,k}

Posté par
Tigweg Correcteurre : Formule d'inversion 11-10-07 à 01:01

Bon j'aurais mieux fait d'appeler mes termes a_k,i, ça ne change rien mais ça respecte l'ordre abscisses - ordonnées que j'ai proposé

Ou alors on peut aussi voir k en abscisses et i enordonnées bien sur!

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Formule d'inversion 11-10-07 à 12:51

re tigweg

oui je pense avoir compris

mais à la dernière étape, j'ai fait un changement d'indice pour la deuxième somme en posant k'=k-i, ce qui m'a donné 3$\Bigsum_{k'=0}^{n-i}(-1)^{k'}C_{n-i}^{k'} qui est nulle et qui va tout annuler où est ma grande bêtise?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Formule d'inversion 11-10-07 à 20:52

Euh je ne comprends pas...
Peux-tu m'indiquer de quel message tu parles, et à quelle étape s'il-te-plaît?

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Formule d'inversion 11-10-07 à 21:07

le dernier passage de la dernière ligne de perroquet

Posté par
Tigweg Correcteurre : Formule d'inversion 11-10-07 à 21:25

Mince, c'est qu'il n'a pas tort le bougre!
Attends, il faut que je reprenne tout ça!

Posté par
perroquetre : Formule d'inversion 11-10-07 à 21:32

Bonjour, monrow.

\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k C_n^k=(1-1)^n

S_n est nul pour tout n, sauf pour n=0, et S_0 vaut 1

Posté par
Tigweg Correcteurre : Formule d'inversion 11-10-07 à 21:39

Oui oui ça yest, je n'étais plus dans le truc!

En fait ce que tu dis est vrai, à part dans le cas particulier où n-i est nul.

En effet lorsque p est nul, on n'a pas

4$\bigsum_{k=0}^pC_{n,k}(-1)^k=0

(la somme est réduite à un unique terme qui vaut 1)

, pour la simple et bonne raison que

4$(-1+1)^0

n'a pas de sens!

Donc si l'indice du haut est nul,ça ne fera pas 0,contrairemment à tous les autres cas.

C'est d'ailleurs la raison pour laquelle la somme de perroquet se réduiten définitive au terme correspondant à i=n,seul terme non nul.

On trouve alors bien comme résultat final

4$(-1)^nx_n.1=(-1)^nx_n.



Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : Formule d'inversion 11-10-07 à 21:39

Salut perroquet, désolé d'avoir douté!

Posté par
perroquetre : Formule d'inversion 11-10-07 à 21:45

Bonsoir, Tigweg  

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Formule d'inversion 11-10-07 à 22:09

je pense avoir compris

merci tout le monde..

Posté par
perroquetre : Formule d'inversion 11-10-07 à 22:09

Je reviens sur ce sujet.

Ce matin, je me suis levé en pensant à la solution très élégante de Ksilver. Il concluait ainsi:

Citation :
Et vive l'algèbre


Et je me suis dit: et si on utilisait l'analyse. Et j'ai trouvé ceci: les hypothèses de l'énoncé peuvent s'écrire sous la forme:

\displaystyle e^t\sum_{k=0}^n \frac{x_k}{k!} t^k = \sum_{k=0}^n\frac{y_k}{k!}t^k + o(t^n)

On en déduit:

\displaystyle e^{-t}\sum_{k=0}^n \frac{y_k}{k!} t^k = \sum_{k=0}^n\frac{x_k}{k!}t^k + o(t^n)

Et on retrouve ce que demandait l'énoncé.

Et vive l'analyse.

Et merci à Ksilver et à monrow.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Formule d'inversion 11-10-07 à 22:20

j'ai toujours des problèmes avec cette notation de landau , il faut que j'attende deux ou trois mois pour qu'on fasse le cours..

sinon je vois pas trop.. je pense que t'as utilisé le fait que 3$e^t=\Bigsum_{k=0}^n\frac{t^k}{k!}

mais après... je perd tout le fil..

si ce sont des opérations sur les DL, je vais vraiment t'énerver avec mes questions ...

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Formule d'inversion 11-10-07 à 22:21

3$e^t=\Bigsum_{k=0}^n\frac{t^k}{k!}+o(t^n) bien sur

Posté par
perroquetre : Formule d'inversion 11-10-07 à 22:27

Oui, j'ai bien utilisé le DL de exp(t) à l'ordre n.
Ensuite, j'établis le DL à l'ordre n du produit.
Le coefficient de t^p vaut:

\displaystyle \sum_{k=0}^p \frac{x_k}{k!}\frac{1}{(p-k)!}

On a donc:

\displaystyle \frac{y_p}{p!}=\sum_{k=0}^p \frac{x_k}{k!}\frac{1}{(p-k)!}

...

Posté par
Ksilverre : Formule d'inversion 11-10-07 à 22:28

Perroquet : oui la loi de composition que j'avait introduit correspond en fait au produit des série formelle en x^k*ak/k!, donc en fait nos deux démonstration sont les memes (la loi de composition sous jacente etant présenté différement), la tienne etant tous de meme plus rapide (mais plus théorique car on utilise plus ou moins des notion de série formelle) vu que la comutativité, l'associativé et l'element neutre sont alors totalement évident...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !