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Formule de Binet pour calculer le module d'une vitesse
Bonjour à tous,
Je me permets de poster ce message car un exercice de physique me pose problème sur le plan mathématique(d'où mon choix de ce forum). Il s'agit d'une question de mécanique du point. Je vous saurais infiniment reconnaissant de bien vouloir m'apporter un petit coup de main.
L'énoncé donne l'équation polaire de la trajectoire suivante : r= a cos(2x) , sachant qu'elle suit la "loi des aires" de Kepler.
Le but de l'exercice est de donner le module du vecteur vitesse (puis celui de l'accélération) uniquement en fonction de a, de r et de C (la constante des aires). Les formules de Binet permettent de répondre, mais je n'arrive pas à faire apparaître "a" dans l'expression du module de la vitesse, qui reste exprimé en fonction de r et de C uniquement (=1ère formule de Binet).
v² = C²[(u')+ u²] avec u = 1/r
Ai-je manqué une étape qui aurait permis de "sortir" la constante "a" de l'expression de r et qui devrait donc figurer aux côtés de r et de C dans l'expression du module de la vitesse?
Je vous remercie par avance.
Bonjour,
Je vous remercie pour votre réponse.
En coordonnées polaires, la constante des aires "C" est introduite par un vecteur qui est le résultat du produit vectoriel de la position r par la vitesse v et la constante précitée est égale à sa norme.
En coordonnées polaires, C = r²(dθ/dt)
Sauf erreur, pour r = acosθ, on a C = a²cos²θ(dθ/dt)
Dans mon exercice (r = acos2θ), j'ai calculé C avec le produit vectoriel et je retrouve bien C = r²(dθ/dt).
Ce que je ne comprends pas est comment exprimer la vitesse (et son module) en faisant apparaître uniquement r, C et a.
Merci infiniment pour votre aide.
Cordialement
Ta formule de Binet a une coquille. Tu peux partir soit de cette formule de Binet corrigée, soit de pour arriver à une formule avec uniquement
,
et
. Remarque que
s'expriment en fonction de
et
.
Merci beaucoup,
En utilisant votre deuxième formule (donnant directement la norme),
je trouve finalement que v² = 4a²[1 - (r²/a²)] + [C²/r²]
Merci encore pour le temps passé à m'aider.
En reprenant tout, je trouve v²= C² [(4a²-3r²)/ r^4]
En appliquant la seconde loi de Binet, j'ai également trouvé la norme de l'accélération en fonction de a, r et C.
A² = C²/r² [ (64a^4 + 1)/r^4 - (2/r) - (16/C²) ]
S'agissant d'un mouvement soumis à une force centrale, la composante tangentielle de l'accélération est nulle. Le vecteur accélération se réduit donc à l'accélération normale.
On peut donc déduire le rayon de courbure en divisant la norme du vecteur vitesse par celle du vecteur accélération.
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