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Formule de combinatoire

Posté par
AitOuglif 15-06-22 à 19:44

Bonjour
J'essaie d'apprendre à faire des raisonnements de combinatoire.
On me demande de prouver que:
\binom{n}{k}\binom {n-k}{p-k}= \binom{n}{p}\binom {p}{k}, où p,n sont des entiers naturels et k un entier entre 0 et p.
Avec les factorielles, c'est très facile.
Voici comment je fais en combinatoire.
Je considère un jeu de type attaque/défense. On veut compter le nombre de façons de constituer une équipe ayant exactement k attaquants parmi n participants. Donc, soit je prends k joueurs parmi les n. Une fois ce choix effectué, je choisis p-k joueurs parmi les p-k restants. Ceci me donne le premier membre de l'égalité à démontrer.
Je peux aussi choisir directement p joueurs parmi les n, et une fois ce choix effectué, choisir k attaquants parmi eux. J'obtiens le second membre.
Est-ce que ce raisonnement est acceptable? J'ai quand même l'impression que beaucoup(tous?) les raisonnements de combinatoire consistent à privilégier des éléments d'un bon ensemble?Merci!

Posté par
Zormuchere : Formule de combinatoire 15-06-22 à 21:45

Salut
d'un point de vue intuitif, ton raisonnement est tout à fait bon.
Pour voir la chose de façon encore plus large, ça consiste à couper un ensemble de taille n en trois sous-ensembles : un de taille k, un de taille p-k, et un de taille n-p. La somme vaut bien n.

Les deux écritures sont juste deux façons de procéder à un tel découpage.

Dans la première écriture on visualise celui de taille k en premier, puis celui de taille p-k. Le dernier de taille n-p est alors automatiquement créé.

Dans la deuxième écriture, on visualise d'abord celui de taille n-p  (puisque, pour rappel, \dbinom{n}{p}=\dbinom{n}{n-p} ), et ensuite celui de taille k. Alors, celui de taille p-k découle automatiquement.

Posté par
Zormuchere : Formule de combinatoire 15-06-22 à 22:02

En fait, on peut même voir cette égalité (qui a un troisième membre intéressant : \dots = \dbinom{n}{p-k}\dbinom{n-p+k}{k} ) comme une généralisation à "trois morceaux" de la fameuse égalité que j'ai citée dans mon précédent message

Il faudrait juste faire un micro changement de variable pour avoir du p et k, ce qui serait "plus propre" (avis perso), et ça donne :

\dbinom{n}{p}\dbinom{n-p}{k} = \dbinom{n}{k}\dbinom{n-k}{p} = \dbinom{n}{n-p-k}\dbinom{p+k}{k}

Posté par
AitOuglifre : Formule de combinatoire 15-06-22 à 22:56

Merci beaucoup Zormouche! En effet, cela paraît beaucoup plus naturel que mes histoires de joueurs! Et en effet, avec 3 membres du coup. Super, merci!!


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