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Formule de Faà di Bruno

Posté par
Astarus 02-02-21 à 14:06

Bonjour à tous !

J'essaye de démontrer la formule de la derivée n-ième d'une composition de fonctions (dite de Faà di Bruno) par récurrence :

(go f)^{(n)}=\sum_{(m_{1},...,m_{n})\epsilon N^{n}, 1m_{1}+2m_{2}+...+nm_{n}=n}^{}{\frac{n!}{m_{1}!...m_{n}!}\prod_{k=1}^{n}{(\frac{f^{(k)}}{k!})^{m_{k}}\times g^{(m_{1}+...+m_{n})}of}}

Je bloque sur l'hérédité. J'ai dérivé l'expression de la dérivée n-ième de g rond f, d'après l'hypothèse de récurrence, j'obtiens :

(go f)^{(n+1)}=\sum_{(m_{1},...,m_{n})\epsilon N^{n}, 1m_{1}+2m_{2}+...+nm_{n}=n}^{}{\frac{n!}{m_{1}!...m_{n}!}\prod_{k=1}^{n}{(\frac{f^{(k)}}{k!})^{m_{k}}\times (f'(g^{(m_{1}+...+m_{n}+1)}of)+\sum_{i=1}^{n}{\frac{m_{i}f^{(i+1)}f^{(i)}^{m_{i}-1}}{f^{{i)}^{m_{i}}}}}}})

Je me doute qu'il faut faire apparaître une famille m'_{1},...,m'_{n+1} sur laquelle indexer tout cela, pour passer de n à n+1. Mais je ne vois pas du tout comment.

Si quelqu'un saurait comment me tirer de ce pétrin, je l'en remercie vivement d'avance !

Astarus

Posté par
lionel52re : Formule de Faà di Bruno 02-02-21 à 15:42

Hello !

C'est plus du loisir (cf ton profil!) à ce niveau, c'est du masochisme. Je crois que j'ai jamais vu personne utiliser cette formule!
En vérité, je te conseille de regarder les démos sur Internet, il doit y en avoir, c'est trop fastidieux de taper le LateX ici et ça apportera pas grand chose

Posté par
Astarusre : Formule de Faà di Bruno 02-02-21 à 21:24

Bonsoir lionel52 !

Je me faisais la réflexion aussi, j'aurais aimé poursuivre avec ce que j'ai mais cela risque d'être fastidieux. Disons que je lance le topic si jamais quelqu'un sur le forum est plus maso que moi, ses propositions sont les bienvenues...

Posté par
Astarusre : Formule de Faà di Bruno 03-02-21 à 08:31

Je n'ai trouvé qu'une seule démonstration sur Internet, après plusieurs recherches. Voici le lien, histoire que ce topic ait servi à quelque chose...

La démonstration y est téléchargeable librement en PDF.

Posté par
ThierryPomare : Formule de Faà di Bruno 03-02-21 à 13:52

@Astarus : bonjour. C'est oublier tous ces résultats , certes en rédigés en anglais, mais avec leurs démonstrations.

Posté par
Astarusre : Formule de Faà di Bruno 03-02-21 à 21:41

Ah oui... Conséquent...

Merci beaucoup, je vais regarder tout ça !


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