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Formule de Green-Riemann

Posté par
H_aldnoer 19-04-07 à 16:35

Bonjour,

je dois calculer à l'aide Green-Riemann ceci :
\Bigint_{D} \frac{xy}{(1+x^2+y^2)^2}dxdy (énoncé)

je sais que :
\Bigint\Bigint(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial x})dxdy=\Bigint Pdx+Qdy

donc je pense chercher (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial x})=\frac{xy}{(1+x^2+y^2)^2}, mais je me demande s'il n'y a pas une erreur dans l'énoncé : ne doit on pas calculer \Bigint\Bigint_{D} \frac{xy}{(1+x^2+y^2)^2}dxdy ?

Posté par
perroquetre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 17:18

Effectivement, je pense qu'il s'agit d'une intégrale double. On peur choisir  P=0

Posté par
H_aldnoerre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 17:24

En faite, j'ai choisis :
P(x,y)=-\frac{x}{2}(\frac{1}{1+x^2+y^2}) et Q(x,y)=0  (je me suis trompé dans mon post précédent, c'est \frac{\partial%20Q}{\partial%20x}-\frac{\partial%20P}{\partial%20y}).

Donc, sauf erreur, il me semble que (\frac{\partial%20Q}{\partial%20x}-\frac{\partial%20P}{\partial%20x})=\frac{xy}{(1+x^2+y^2)^2} et donc :
\Bigint\Bigint\frac{xy}{(1+x^2+y^2)^2}dxdy=\Bigint(-\frac{x}{2}(\frac{1}{1+x^2+y^2}))dx+0dy

Posté par
H_aldnoerre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 17:30

j'ai oublié de préciser que :
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,,0\le x\le1,\,0\le y\le1\,,x^2+y^2\ge1\}

Posté par
perroquetre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 17:35

Oui, c'est exact.
Il reste à déterminer un paramétrage de la frontière de D, qui est composée d'un quart de cercle et de deux segments de droite.

Posté par
H_aldnoerre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 17:41

Pour cela j'ai choisi :
p_1:[0,1]\to\mathbb{R}^2
t\to(1,t)

p_2:[0,1]\to\mathbb{R}^2
t\to(t,1)

p_3:[0,1]\to\mathbb{R}^2
t\to(t,\sqrt{1-t^2})

est-ce correct ?

Posté par
perroquetre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 17:46

Pour p_3, il est plutôt conseillé de prendre t -> (cos(t),sin(t)) , t parcourant l'intervalle [0,pi/2].
Attention aux sens de parcours: p_2 et p_3 ne sont pas orientés dans le sens trigonométrique. Il faudra penser à mettre un signe moins devant l'intégrale

Posté par
H_aldnoerre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 17:55

C'est une obligation pour p_3 ? Ou on s'en sort avec le même résultat ?

Donc on a :
p_1 paramètre a_1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,,x=1\,,0\le y\le 1\}
p_2 paramètre a_2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,,y=1\,,0\le x\le 1\}
p_3 paramètre a_3=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,,x^2+y^2=1\,,x\ge0\,,y\ge0\}

Ensuite, \partial D=a_1\cup a_2\cup a_3 et :
\Bigint \Bigint _D \frac{xy}{(1+x^2+y^2)^2}dxdy = \Bigint _{\partial D} (-\frac{x}{2}(\frac{1}{1+x^2+y^2}))dx+0dy

Et on calcule :
\Bigint _{\partial D} (-\frac{x}{2}(\frac{1}{1+x^2+y^2}))dx+0dy=\Bigint _{a_1} (-\frac{x}{2}(\frac{1}{1+x^2+y^2}))dx+0dy-\Bigint _{a_2} (-\frac{x}{2}(\frac{1}{1+x^2+y^2}))dx+0dy-\Bigint _{a_3} (-\frac{x}{2}(\frac{1}{1+x^2+y^2}))dx+0dy

?

Posté par
perroquetre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 18:11

L'intégrale curviligne de P dx le long de \Gamma= \big([a,b], t \rightarrow (x(t),y(t)\big) est égale à:
\displaystyle \int_a^b P(x(t),y(t)) x'(t) dt

Posté par
H_aldnoerre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 18:19

Donc cela nous donne pour la première :
\Bigint%20_{a_1}%20(-\frac{x}{2}(\frac{1}{1+x^2+y^2}))dx+0dy=-\frac{1}{2}\Bigint_{0}^1(\frac{1}{1+1+t^2})\times0dt=0 ?

Posté par
perroquetre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 18:26

exact

Posté par
H_aldnoerre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 18:43

Sur la deuxième :
\Bigint%20_{a_2}%20(-\frac{x}{2}(\frac{1}{1+x^2+y^2}))dx+0dy=-\frac{1}{2}\Bigint_{0}^1(\frac{t}{1+t^2+1})\times1dt=-\frac{1}{2}\Bigint_{0}^1(\frac{t}{2+t^2})dt=-\frac{1}{2}[\frac{ln(2+t^2)}{2}]_0^1=-\frac{1}{4}ln(\frac{3}{2})

Posté par
perroquetre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 19:14

Exact

Posté par
H_aldnoerre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 19:16

Et pour la dernière on va retrouver la même chose avec mon expression de p3 et la vôtre ?

Posté par
perroquetre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 19:18

Oui

Posté par
H_aldnoerre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 19:22

Ok, je pense m'en sortir.
Merci bien perroquet!

Posté par
perroquetre : Formule de Green-Riemann 19-04-07 à 19:25

De rien. C'était un plaisir.


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