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Formule de Leibniz

Posté par Arno091 (invité) 03-01-05 à 21:27

Bonsoir, je cherche à calculer la dérivée do'ordre n suivante :
=>f(x)=(x-a)^n * (x-b)^n.
j'ai posé g(x)=(x-a)^n et h(x)=(x-b)^n
donc g'(x)=n(x-a)^(n+1) et g''(x)=n(n-1)(x-a)^(n-2).
Idem pour h(x).
J'ai montré par récurrence que g^k(x)=n(n-1)...(n-k+1)(x-a)^(n-k).
Puis en appliquant la formule de Leibniz on a:
f^k(x)=(0 parmi n) n!² + (1 parmi n) n!²(x-a)(x-b) + (2 parmi n) n!/2 (x-a)² n!/2 (x-b)²...
Voila je ne sais pas si cela est bon pour le moment et je ne vois pas comment finir ma dérivée.
Après je souheterai en déduire la somme de k=0 à n de (k parmi n)².
pouvez-vous m'aider SVP merci à tous

Posté par
franzre : Formule de Leibniz 04-01-05 à 00:06

Effectivement
\large g^{(k)}(x) = \frac {n!} {(n-k)!} (x-a)^{n-k}

mais

\large \array{ccl $ f^{(n)}(x) & = & \Bigsum_{k=0}^n \(\array{n\\k}\)g^{(k)}(x)h^{(n-k)}(x)\\ & = & \Bigsum_{k=0}^n \(\array{n\\k}\) \frac {n!} {(n-k)!} (x-a)^{n-k}\,\frac {n!} {k!} (x-b)^{k} \\ & = & n! \Bigsum_{k=0}^n \(\array{n\\k}\)^2 (x-a)^{n-k} \, (x-b)^{k} }

dans le cas particulier où b=a, on obtient :
\large \array{ccl $ f^{(n)}(x) & = & n! \Bigsum_{k=0}^n \(\array{n\\k}\)^2 \;\; (x-a)^{n} \\ & = & \((x-a)^{2n}\)^{(n)} \\ & = & \frac {(2n)!} {(2n-n)!}(x-a)^{2n-n} \\ & = & \frac {(2n)!} {n!}(x-a)^{n} }

On en déduit
\red \Large \Bigsum_{k=0}^n \(\array{n\\k}\)^2 = \frac {(2n)!} {n!\,n!} = \(\array{2n\\ \vspace{5} \\ n}\)


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