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formule de Taylor

Posté par
romu 20-01-08 à 14:00

Bonjour,

Soit f:I\rightarrow \mathbb{R} une fonction définie sur un intervalle ouvert I\subset \mathbb{R} de classe C^{k+1} (k\geq 0).
Soit a un point de I tel que f(a)=0.

Je voudrais utiliser la formule suivante pour montrer que la fonction continue g:I\rightarrow \mathbb{R} définie par f(x)=(x-a)g(x) pour tout x\in I est de classe C^k.


Citation :
Formule de Taylor avec reste intégral:

Si f est n fois dérivable au point a\in I, on définit une fonction polynômiale T^n_af:I\rightarrow \mathbb{R} par:

3$T^n_af(x):=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f^{(2)}(a)(x-a)^2+...+\frac{1}{n!} f^{(n)}(a)(x-a)^n.

On suppose que a<b sont contenus dans I, et que la fonction f est n fois dérivable qur [a,b] et n+1 fois dérivable sur ]a,b[.
Alors il existe un réel c\in ]a,b[ tel que:

3$f(x) = T^n_af(x)+\frac{1}{n!}[\Bigint_0^1 (1-t)^n f^{(n+1)}(a+t(x-a))dt](x-a)^{n+1}.


Je voulais savoir si cette formule reste vraie pour b > a, pour l'appliquer à n'importe quel x\in I distinct de a.

Posté par
kaiser Moderateurre : formule de Taylor 20-01-08 à 14:27

Salut romu

c'est bizarre, je ne vois pas de c.
Mais toutes les formules de Taylor restent vraies que a < b ou que a > b et ça reste vrai pour n'importe quel point différent de a et b.

Kaiser

Posté par
romure : formule de Taylor 20-01-08 à 14:36

Bonjour Kaiser,

oui pardon, je sias pas pourquoi, j'ai rajouté un bout de la formule de Taylor-Lagrange, il n'y a pas de c.

Merci.

Posté par
romure : formule de Taylor 20-01-08 à 14:57

ok donc on a 3$g(x)=f'(a)+\frac{1}{2!}f^{(2)}(a)(x-a) + ... + \frac{1}{k!}f^{(k)}(a)(x-a)^{k-1} + \frac{1}{k!} [\bigint_0^1 (1-t)^k f^{(k+1)} (a+t(x-a))dt] (x-a)^k,

donc je vois bien que 3$x\rightarrow f'(a)+\frac{1}{2!}f^{(2)}(a)(x-a) + ... + \frac{1}{k!}f^{(k)}(a)(x-a)^{k-1} est de classe C^k (même C^{\infty}),

par contre c'est pas clair que 3$x\rightarrow \frac{1}{k!}[\bigint_0^1 (1-t)^k f^{(k+1)} (a+t(x-a))dt] (x-a)^k est de classe C^k.  

Posté par
kaiser Moderateurre : formule de Taylor 20-01-08 à 15:55

Je ne te conseille pas de faire comme ça : utilise plutôt la formule de Taylor Lagrange avec reste intégrale à l'ordre 0 (essaie d'exprimer g sous forme intégrale)

Kaiser

Posté par
romure : formule de Taylor 20-01-08 à 16:06

euh la version de la formule de Taylor-Lagrange que j'ai n'a pas de reste intégrale,

ellle dit que

Citation :
si f est n fois dérivable sur [a,b] et n+1 fois dérivable sur ]a,b[. Alors il existe c\in ]a,b[ tel que:

3$f(b)=T_a^nf(b)+\frac{1}{(n+1)!} f^{(n+1)}(c)(b-a)^{n+1}.

Je ne vois pas ce que ça donne avec reste intégral à l'ordre 0

Posté par
kaiser Moderateurre : formule de Taylor 20-01-08 à 16:10

Je n'ai pas dit de ne pas utiliser la formule de Taylor sans reste intégrale, je te demande d'utiliser la formule de Taylor Lagrange avec reste intégrale (c'est-à-dire la formule de ton premier message) avec n=0.

Kaiser

Posté par
romure : formule de Taylor 20-01-08 à 16:29

Ah oui d'accord, effectivement je me compliquais la vie.

Donc en suivant ton indication,

je trouve que 3$g(x)=\bigint_0^1 f'(a+t(x-a)) dt,

mais je ne vois toujours pas comment montrer que g est de classe C^k.

A la limite, en utilisant le critère de dérivation sous l'intégrale je peux montrer que g est dérivable, mais après pour dire qu'elle est de classe C^k c'est pas clair.

Et c'est peut être sortir le marteau piqueur que de passer par ce genre de critère ici, non?

Posté par
kaiser Moderateurre : formule de Taylor 20-01-08 à 16:37

Effectivement, je pensais à ceci : il suffit de montrer que les dérivées successives de l'intégrande par rapport à x sont majorées par une fonction indépendante de x et intégrable (ce n'est pas si bourrin que ça car la démo de ce théorème dans ce cas précis est assez simple : on se trouve dans de bonnes conditions).

Cela dit, si ça te dérange tellement d'utiliser ce théorème, tu peux toujours dire que ta fonction g est de classe \Large{C^{k+1}} en dehors de a et tu prouves qu'elle l'est en a en utilisant le théorème de prolongement des fonctions de classe \Large{C^{p}} (avec ici p=k+1).

Kaiser

Posté par
romure : formule de Taylor 20-01-08 à 16:52

Je ne suis pas sûr de connaître ce théorème de prolongement des fonctions de classe C^p.

On avait eu en exo cette proposition qui dit que

Citation :
pour une fonction continue f:I\rightarrow \mathbb{R} définie sur un intervalle ouvert I\subset \mathbb{R} et un point a\in I,

si f est dérivable sur I\subset \{a\} et que f'(x) tend vers une limite l lorsque x\rightarrow a, alors f est dérivable en a et f'(a)=l
.

Ce serait une généralisation de ce résultat?

Posté par
romure : formule de Taylor 20-01-08 à 16:54

du genre :

Citation :
si f est de classe C^p sur I\setminus \{a\} et que f^{(p)}(x) tend vers une limite l lorsque x\rightarrow a, alors f^{(p-1)} est dérivable en a et f^{(p)}(a)=l
?

Posté par
kaiser Moderateurre : formule de Taylor 20-01-08 à 17:03

pas exactement :

soit I un intervalle ouvert, a un point de I ou une extrêmité de I et g une fonction définie sur \Large{I\setminus \{a\}}
On suppose que g est de classe \Large{C^{p}} sur \Large{I\setminus \{a\}}.
On suppose également que pour tout entier k compris entre 0 et p, \Large{g^{(k)}} admet une limite finie en a que l'on note \Large{l_{k}}, alors g est prolongeable par continuité en a en une fonction de classe \Large{C^{p}} sur \Large{I\bigcup\{a\}}, fonction que l'on note encore g et qui vérifie :

pour tout k compris entre 0 et p \Large{g^{(k)}(a)=l_{k}}.

Kaiser

Posté par
romure : formule de Taylor 20-01-08 à 18:56

Le critère de dérivabilité pour les intégrales dépendant d'un paramètre que j'ai est celui-ci:

Citation :
Soient (E,\mathcal{A},\mu) un espace mesuré (T,d) un espace métrique (par exemple \mathbb{R}) et f une fonction mesurable définie sur (E\times T, \mathcal{A}\otimes \mathcal{B}(T)) à valeurs réelles ou complexes.

On considère la fonction 3$F:\ t\in T \rightarrow \bigint_E f(x,t) d\mu(x)

en un point t_0\in \stackrel{\circ}{T}.

On suppose que ici T est un ouvert de \mathbb{R} et qu'il existe \varepsilon>0 vérifiant:

(i) Pour \mu-presque tout x, la fonction t\in T\rightarrow f(x,t)

est dérivable sur ]t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon[.

(ii) Il existe g\in \mathcal{L}^1(\mu) tel que 3$\sup_{t:\ |t-t_0|<\varepsilon}\ |\frac{\partial f}{\partial t}(x,t)|\leq g(x) \mu-pp.

Alors F est dérivable en t_0 et 3$F'(t_0)=\bigint_E \frac{\partial f}{\partial t}(x,t_0) d\mu(x).


Je me demandais comment trouver une version plus simple de ce critère qui s'adapte bien à notre cas.

Posté par
kaiser Moderateurre : formule de Taylor 20-01-08 à 19:06

déjà, ici, tu peux te passer du presque partout : tout est bien gentil, tout est continue, tout est suffisamment régulier et tout le monde est content.

Plus sérieusement, il faut commencer par se placer sur tout segment car dans l'hypothèse de domination, on risque d'avoir des problèmes aux bord de l'intervalle et les fonctions que l'on intégre étant continues, elles sont bornées sur les segments et la fameuse fonction g que l'on va trouver est tout simplement une constante.

Kaiser

Posté par
romure : formule de Taylor 20-01-08 à 19:29

ok, et on peut aussi en parler sans notion de mesure j'imagine.


i) pour tout t\in [0,1], la fonction x\in I\rightarrow f'(a+t(x-a)) est dérivable sur I;

ii) la fonction t\rightarrow h(t)=|f''(a+t(x-a))| est continue sur un compact donc atteint son sup en un point M.

Et donc 4$|[f'(a+t(x-a))]'_x|=|tf''(a+t(x-a))|\leq |f''(a+t(x-a))|=h(t)\leq M


Donc les conditions sont vérifiées pour dire que g est dérivable.

Posté par
romure : formule de Taylor 20-01-08 à 19:36

Et après j'étends le résultat par récurrence jusqu à g^{(k)}, mais ça ne montrera pas la continuité de g^{(k)}, non?

Posté par
romure : formule de Taylor 20-01-08 à 19:42

mais je viens de me souvenir qu'il y a aussi un critère de continuité sous l'intégrale qui doit pouvoir résoudre le problème.

Posté par
kaiser Moderateurre : formule de Taylor 20-01-08 à 20:31

En fait, le théorème que tu possèdes a une version" de classe \Large{C^{k}}" : si l'intégrande est de classe \Large{C^{k}} et qu'on a l'hypothèse de domination pour chaque dérivée alors l'intégrale à paramètre définit une fonction de classe \Large{C^{k}}.

Kaiser

Posté par
romure : formule de Taylor 20-01-08 à 20:36

Tu as un lien où ce théorème est présenté, j'aimerai bien lire la démo (ces histoires de C^k me perturbent fortement )

Posté par
kaiser Moderateurre : formule de Taylor 20-01-08 à 20:38

cela dit, si tu ne disposes que de ce théorème de dérivation ainsi que du théorème de continuité, comme tu le fais remarquer, tu peux t'en sortir : tu montrer que c'est k fois dérivable à l'aide de ton théorème de dérivation (par récurrence, c'est une bonne idée) et tu montres que la dérivée kième est continue grâce à ton théorème de continuité.

Kaiser

Posté par
romure : formule de Taylor 20-01-08 à 20:42

oki, et dans mon post de 19:29, il n'y a pas d'erreur? tu avais dit qu'il fallait se placer sur tout segment , j'ai pas trop compris, mais si le segment des t c'est bon pour la domination par une constante, non?

Posté par
kaiser Moderateurre : formule de Taylor 20-01-08 à 20:51

justement, il y a un hic : tu es en train de fixer x et tu prends le sup en t. En d'autres termes : ton M dépend de x.
C'est pour cela que l'on doit se placer sur un segment J inclus dans I et sur lequel x varie.
Voici un exemple qui te confrontera à la nécessité de se placer sur un tel segment pour obtenir la domination.

On prend I=]-1,1[, a=0 et \Large{f(t)=\frac{1}{t-1}} pour tout t dans I.
Peut-on majorer f(a+(tx-a))=f(tx) pour x dans I et t dans [0,1] par une fonction intégrable et ce indépendamment de x ?

Kaiser

Posté par
romure : formule de Taylor 23-01-08 à 13:06

je pense que non, car quand x tend vers 1,

3$f(1)=\frac{1}{x-1} qui tend vers -\infty.

Posté par
kaiser Moderateurre : formule de Taylor 23-01-08 à 17:55

ce n'est pas tant le fait que ça tende vers l'infini : c'est plutôt le fait que 1/-t-1) n'est pas intégrable en 1 (plus précisément, une fonction qui dominerait indépendamment de x serait nécessairement supérieur à 1/(t-1) et donc c'est absurde.

Tu vois donc qu'on est obligé de s'éloigner du "bord" pour se placer sur un segment, là où tout se passe bien.

Kaiser

Posté par
romure : formule de Taylor 23-01-08 à 18:11

Je vois, merci Kaiser pour ces explications.  

Posté par
kaiser Moderateurre : formule de Taylor 23-01-08 à 18:27

Mais je t'en prie !

Posté par
romure : formule de Taylor 30-01-08 à 21:01

Bonjour,

voilà la suite de l'exercice, je rappelle la première question au passage:

Citation :
Soit f:I\rightarrow \mathbb{R} une fonction définie sur un intervalle ouvert I\subset \mathbb{R}. Soit a un point de I.

(1) On suppose que f(a)=0 et que f est de classe C^{k+1} (k\geq 0). Montrer qu'il existe une (unique) fonction continue g:I\rightarrow \mathbb{R} telle que f(x)=(x-a)g(x) pour tout x\in I. Montrer que g est de classe \mathcal{C}^k.

(2) On suppose maintenant que  f est de classe \mathcal{C}^{\infty} et que f est "nulle à l'ordre p" au point a, ie que:

f(a)=f'(a)=...=f^{(p)}(a) = 0.

Montrer qu'il existe une fonction g:I\rightarrow \mathbb{R} de classe \mathcal{C}^{\infty} telle que f(x)=(x-a)^{p+1}g(x) pour tout x\in I.

(3) On suppose maintenant que f est nulle exactement à l'ordre p au point a, ie que

f(a)=f'(a)=...=f^{(p)}(a) = 0 et f^{(p+1)}(a)\neq 0.

Montrer qu'il existe alors un intervalle ouvert J contenu dans I et contenant a, un intervalle K de \mathbb{R} contenant 0, et une bijection \varphi:J\rightarrow K de classe  \mathcal{C}^{\infty} et d'inverse également \mathcal{C}^{\infty}, tels que:

f(x)=\epsilon\varphi(x)^{p+1}

où \epsilon=+1 si p est pair, et \epsilon=\pm 1 si p est impair.



Pour la (3), je ne vois pas vraiment comment faire.

Merci pour vos indications.

Posté par
kaiser Moderateurre : formule de Taylor 31-01-08 à 00:29

Salut romu

Commence par exprimer la dérivée (p+1)-ième de f en a en utilisant g (notations de la question 2)

Kaiser

Posté par
romure : formule de Taylor 31-01-08 à 00:50

d'accord je regarde ça, merci Kaiser

Posté par
romure : formule de Taylor 28-05-08 à 18:19

Je reprends cet exo que j'ai du laisser de côté.

En suivant l'indication de Kaiser, il existe d'après (2) une fonction g:I\rightarrow \mathbb{R} de classe C^{\infty} telle que

f(x)=(x-a)^{p+1} g(x), pour tout x\in I.

f^{(p+1)}(x)=\((x-a)g(x)\)^{(p+1)} = \Bigsum_{k=0}^{p+1}\((x-a)^{p+1}\)^{(k)} (g(x))^{(n-k)}.

On a

\((x-a)^{p+1}\)'=(p+1)(x-a)^p


\((x-a)^{p+1}\)''=(p+1)p(x-a)^{p-1}

...
\((x-a)^{p+1}\)^{(k)}=(p+1)p...(p-k+2)(x-a)^{p+1-k}

donc f^{(p+1)}(a)=\Bigsum_{k=0}^{n+1} C_{p+1}^k (p+1)p...(p-k+2)(a-a)^{p+1-k}g^{(n-k)}(a)=0

ce qui est contradictoire avec les hypothèses de départ, je ne vois pas où est mon erreur

Posté par
romure : formule de Taylor 29-05-08 à 11:54

Bon en fait j'ai essayé plutôt autre chose:

d'après (2) il existe une fonction g:I\rightarrow \mathbb{R} de classe C^{\infty} tel que

f(x)=(x-a)^{p+1}g(x).

Donc on doit avoir

3$\varphi(x) := \{\(f(x)\)^{1/p+1} \textrm{ si p est pair },\\ \(|f(x)|\)^{1/p+1} \textrm{ si p est impair }

ie

3$\varphi(x)=\{ (x-a) \(g(x)\)^{\frac{1}{p+1}} \mbox{ si p est pair },\\ (x-a)\(\epsilon g(x) \)^{\frac{1}{p+1}} \mbox{ si p est impair }

Si \varphi est bien définie elle est bien de classe C^{\infty} (car composition de fonctions de classe C^{\infty}) et on peut déduire le reste de la question par le théorème d'inversion locale

car 3$\varphi'(a)=\frac{f^{(p+1)}(a)}{\epsilon(p+1)!}\neq 0.

Il reste donc à trouver un voisinage de a sur lequel \varphi est bien définie, ie sur lequel g est de signe constant et c'est là que je bloque.

Posté par
romure : formule de Taylor 29-05-08 à 12:48

Bon finalement c'est résolu, merci

Posté par
romure : formule de Taylor 29-05-08 à 22:54

Maintenant il s'agit de reprendre l'exo (citation du 30/01/2008 à 21:01) en supposant que f est à valeurs dans \mathbb{R}^n, et voir ce qui change.

Donc pour la (1) et la (2) je retrouve les mêmes résultats en passant par les composantes et en utilisant (1) et (2) du cas où f est à valeurs réelles précédemment montré,
le seul changement est que g est à valeurs dans \mathbb{R}^n.

En revanche pour la (3) j'ai l'impression qu'il y a pas mal de choses qui change.
Voilà ce que je trouve:

On suppose maintenant que f est nulle exactement à l'ordre p au point a, ie que

f(a)=f'(a)=...=f^{(p)}=0_{ \mathbb{R}^n } et f^{(p+1)}\neq 0_{\mathbb{R}^n}

D'après le cas réel (3) montré avant, pour tout i\in \{1,...,n\} il existe un intervalle ouvert J_i\subset I et contenant a, un intervalle K_i de \mathbb{R} contenant 0,
et une bijection \varphi_i:J_i\rightarrow K_i de classe C^{\infty} et d'inverse également C^{\infty} tel que

f_i(x)=\varepsilon_i \varphi_i(x)^{p+1}

où \varepsilon_i= 1 si p est pair, et \varepsilon_i=\pm 1 si p est impair.

\varphi := (\varphi_i)_{i=1}^{i=n} est donc une bijection de J := \Bigcap_{i=1}^n J_i sur \varphi(J) de classe C^{\infty} mais là je ne sais pas si son inverse est également C^{\infty} ?


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