La question 1), c'est pour un x fixé, ou bien on te demande directement la fonction g ?

En tout cas, à x fixé, si un tel g(x) existe, il vérifie donc puis , parce que g(x) est supposé appartenir à . Vérifie que l'expression en question a du sens et qu'on a effectivement 0 < g(x) < 1.

Il faut que tu apportes des clarifications sur l'intervalle auquel appartient x, parce que si x = 0, l'égalité est vraie pour absolument n'importe quelle fonction g

Désolé pour l'omission, x est un réel non nul

Je ne cerne pas comment vous faites pour obtenir x = x*(1/(1+x²g(x)²)

Je me suis retrouvé, avec la dérivée de Arctanx ! Je crois que g reste effectivement bloqué dans ]0,1[
Ensuite il s'agit de calculer le développement limité.

Il y a une petite erreur dans mon code latex, c'est bien Arctan(x) =  x * Arctan'(xg(x)) = x / (1 + x²g(x)²).

Normalement tu as trouvé , ce qui n'est possible que si , ce qui est effectivement le cas parce que id >= arctan sur ]0,+inf[ et id <= arctan sur ]-inf, 0[.

si et seulement si
si et seulement si
si et seulement si

L'inégalité > 1 je viens de la faire, et l'inégalité , je te laisse la faire, c'est assez facile


Pour la suite, attention avec le développement limité, parce qu'il y a des valeurs absolues, des racines, et d'autres complications. Aussi, ça implique de vérifier que g est bien dérivable trois fois, ce qui n'a pas l'air évident vu sa tête et pourtant c'est vrai

Tu peux t'épargner quelques prises de tête en constatant que g est une fonction paire, donc
1) tu peux supposer sans perte de généralité que x > 0 dans ton DL
2) il n'y aura pas de terme d'ordre impair. Donc à l'ordre 3, c'est la même chose qu'à l'ordre 2

Donc tu cherches une approximation en 0 de la forme .
Le a est évidemment la limite en 0, que tu peux calculer facilement.
Le b est la moitié de la limite de la dérivée seconde en 0

Désolé double post car instructions pas claires.

Ne t'embête surtout pas à calculer la dérivée seconde hein, utilise juste le DL d'arctan à l'ordre 5 et celui que !

Merci bien c'est plus clair maintenant

De rien
Qu'as-tu trouvé, pour voir si ton résultat est correct ?

Je me retrouve avec g(x) =
Je vois pas comment faire apparaitre du

Pour x > 0 (voir remarque sur la parité)



Laisse le dénominateur de côté pour le moment, il est équivalent à .
Ecris le DL à l'ordre 5 de et vois comment tu peux factoriser ça pour faire apparaitre un terme de la forme avec h une certaine fonction polynomiale

Après écriture du DL de Arctanx à l'ordre 5 au voisinage de 0 je peux sortir du radical 1/27*(x)^3/2 il reste sqrt(1-(3/5)x² +o(x²) )
Et puis un autre écriture de DL me donne comme résultat pour ce qui est dans le radical : 1 + (3/10)x + o(x³)

Erreur de calcul



Une fois sous la racine, le qui est sorti va se simplifier avec le dénominateur, en termes d'équivalents.
Donc ce qui tu cherches est le DL de .

D'où ma remarque sur le DL usuel de . Je te laisse finir

Oui c'est vrai erreur de calcul, mais j'ai une question. Ai-je le droit d'utiliser les équivalents lorsque je calcule des développements limités ?

Si c'est pour simplifier multiplicativement deux équivalents, comme ici et , oui sans problème.
Mais en général, il faut faire attention. Pour ne jamais te tromper, rien de tel que de remplacer l'expression qui dérange par son approximation et ensuite faire la multiplication bêtement.

Exemples basiques  d'utilisations d'équivalents pour ne pas se taper un long DL

Citation :

Donc

Citation :

Citation :
tend vers, donc est équivalent à 2
Donc son produit avec est équivalent .
Mais il est aussi égal à  , qui est équivalent à .
Par transitivité de la relation d'équivalence asymptotique (qui est une relation d'équivalence), un équivalent de notre expression est .

C'est beaucoup plus précis que