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Formule intégrale de Cauchy - Indice

Posté par
kuroka 14-08-14 à 21:48

Bonjour,

Dans mon cours il y a la proposition suivante:

Soit \gamma un chemin fermé de \mathbb{C}. L'application Ind_{\gamma}: z \mapsto \dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \dfrac{1}{\zeta -z}d\zeta vérifie les propriétés suivantes:
(i) elle est à valeurs dans \mathbb{Z}.
(ii) elle est constante sur chaque composante connexe de \mathbb{C} \backslash Im \gamma.
(iii) elle est nulle sur la composante connexe non bornée de \mathbb{C} \backslash Im \gamma.

Accompagnée de la démonstration suivante:

\color{red}{(i)} Il suffit de montrer que:      exp(\int_{\gamma} \dfrac{dw}{w-z})=1.

Soit \gamma :[0,1] \rightarrow \mathbb{C}. Si h est la fonction définie sur le segment [0,1] par h(s)=\int_0^s \dfrac{\gamma '(t)}{\gamma (t)-z} dt, cela revient à montrer que exp(h(1))=1. La fonction h est dérivable sur ]0,1[ avec h'(s)=\dfrac{\gamma '(t)}{\gamma (t)-z}. Ainsi:

((\gamma (s)-z)exp(-h(s)))'=0 sur [0,1],

sauf éventuellement en un nombre fini de points. Donc,

(\gamma (s)-z)exp(-h(s))=(\gamma (0)-z)exp(-h(0)), s \in [0,1].

En utilisant les conditions h(0)=0, \gamma (0)=\gamma (1), z \notin Im \gamma on obtient:

exp(h(1))=1.

\color{red}{(ii)} La fonction Ind_{\gamma} étant holomorphe sur \mathbb{C} \backslash Im \gamma, elle est continue sur cet ensemble et à valeurs discrètes d'après la partie (i). Elle est donc constante sur chaque composante connexe de \mathbb{C} \backslash Im \gamma.

\color{red}{(iii)} La fonction Ind_{\gamma} étant constante sur la composante non bornée E_{\infty} de \mathbb{C} \backslash Im \gamma d'après la partie (ii), il suffit de montrer qu'il existe un point z_0 de E_{\infty} tel que Ind_{\gamma}(z_0)=0. Pour tout point z dans E_{\infty}, on a:

|Ind_{\gamma}(z)|=|\dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \dfrac{d\zeta}{\zeta -z}| \leq \dfrac{|\gamma|}{2\pi dist(z,Im \gamma)}

où |\gamma| est la longueur du chemin \gamma.

Soit alors z_0 dans E_{\infty} tel que dist(z,Im \gamma)=inf_{t\in [0,1]} \ |z-\gamma (t)| > |\gamma|/(2\pi )  (Im \gamma est compact). Il vient: |Ind_{\gamma} (z_0)|<1 et donc: Ind_{\gamma} (z_0)=0.

      _______________________________________________________________________________________________________

J'ai beaucoup de questions à propos de cette démonstration alors pour ne pas que cela devienne le fouillis je vais les poser une à une.

Premièrement, si h est dérivable sur ]0,1[, pourquoi est-ce qu'on a la relation ((\gamma (s)-z)exp(-h(s)))'=0 sur [0,1] ?

Merci d'avance pour votre aide ( c'est plus que généreux de s'aventurer dans un tel pavé ) !

Posté par
Narhmre : Formule intégrale de Cauchy - Indice 15-08-14 à 00:45

Bonsoir,

En tout point où \gamma est dérivable, que vaut la dérivée de s\mapsto (\gamma(s)-z)\exp(-h(s)), par définition de h, si tu la calcules à la main ?

Posté par
kurokare : Formule intégrale de Cauchy - Indice 15-08-14 à 01:41

Elle vaut 0:

((\gamma (s)-z)exp(-h(s)))'=\gamma '(s).exp(-\int_0^s \dfrac{\gamma '(s)}{\gamma (s)-z} dt)+(\gamma (s)-z).(-\dfrac{\gamma '(s)}{\gamma (s)-z}).exp(-\int_0^s \dfrac{\gamma '(s)}{\gamma (s)-z} dt)=0

Ce qui m'embête ici c'est que le professeur dit que la relation est valable sur [0,1]. Or, comme h est dérivable seulement sur ]0,1[, je ne vois pas pourquoi elle n'est pas seulement valable sur ]0,1[ et non sur [0,1] puisqu'on doit dériver h pour l'obtenir.

Posté par
Narhmre : Formule intégrale de Cauchy - Indice 15-08-14 à 11:54

Tu as pourtant toi-même écrit dans ton message que la relation est vraie sur [0,1] sauf peut-être en un nombre fini de points.

Posté par
kurokare : Formule intégrale de Cauchy - Indice 15-08-14 à 12:08

J'ai écrit et précisé que c'est la démonstration de mon cours. Elle est recopiée à l'identique mais c'est pas parce que je l'ai recopié que je la comprends !
Je ne comprends pas pourquoi elle est vraie sur [0,1] et c'est ce que je cherche à comprendre. Pour moi elle est vraie sur ]0,1[ mais pas sur [0,1]. D'ailleurs je ne suis même pas sûr de savoir pourquoi "sauf peut-être en un nombre fini de points" mais c'est l'objet de la question suivante ^^

Posté par
Narhmre : Formule intégrale de Cauchy - Indice 16-08-14 à 17:04

Ok.
Tout d'abord, j'imagine que ce que tu désignes par \gamma:[0,1]\rightarrow \C est une application continue, de classe \mathcal C^1 par morceaux sur [0,1] i.e. qu'il existe une subdivision 0=a_0<a_1<\cdots<a_n<a_{n+1}=1 de [0,1] telle que la restriction de f à chaque intervalle ]a_i,a_{i+1}[ se prolonge en une fonction de classe \mathcal{C}^1 sur [a_i,a_{i+1}] et que f est continue sur [0,1].


Dans ce cas, l'application t\mapsto \dfrac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z} est continue par morceaux sur [0,1] et par conséquent l'application h(s)=\int_0^s \dfrac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}dt est continue et seulement de classe \mathcal C^1 par morceaux sur [0,1].

h n'est donc en général par dérivable sur [0,1], ni sur ]0,1[ mais seulement sur [0,1] privé d'un nombres finis de points (ceux de discontinuité de l'intégrande).
Pour t'en convaincre observe l'application t\mapsto E(2t) sur [0,1] où E(\cdot) désigne la fonction partie entière: elle n'est pas continue mais seulement continue par morceaux et x\mapsto \int_0^xE(2t)dt est bien continue mais n'est pas dérivable en x=\frac{1}{2}.

En tout point de continuité de t\mapsto \dfrac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}, l'application h est alors dérivable et sa dérivée vaut bien h'(s)=\dfrac{\gamma'(s)}{\gamma(s)-z} (tu peux le voir simplement avec la relation de Chasles et le théorème fondamental de l'analyse.)

Ensuite, si tu poses f:s\mapsto (\gamma (s)-z)exp(-h(s)), cette application est définie sur [0,1], continue et de classe \mathcal C^1 par morceaux par opérations élémentaires.
Comme tu l'a constaté, en tout point s\in [0,1] où f est dérivable, on trouve f'(s)=0. Cela signifie que si a_0=0<a_1<\cdots<a_n<a_{n+1}=1 est une subdivision adaptée à f i.e. que la restriction de f à chaque intervalle ]a_i,a_{i+1}[ se prolonge en une fonction de classe \mathcal{C}^1 sur [a_i,a_{i+1}] alors f est constante sur chacun des intervalles ]a_i,a_{i+1}[.
Par continuité, elle est obligatoirement constante sur [a_i,a_{i+1}] puis fatalement sur [0,1].

Posté par
kurokare : Formule intégrale de Cauchy - Indice 16-08-14 à 21:56

Bonsoir Narhm,

Je suis désolé j'ai été un peu pris par le temps ce soir, je réfléchis à tout ça et je te réponds demain. Merci pour le mal que tu t'es donné en tout cas.

Bonne soirée et à demain !

Posté par
kurokare : Formule intégrale de Cauchy - Indice 19-08-14 à 20:06

Bonjour Narhm et désolé pour le retard,

Citation :
\gamma:[0,1]\rightarrow \C est une application continue, de classe \mathcal C^1 par morceaux sur [0,1]


Oui

Citation :
i.e. qu'il existe une subdivision 0=a_0<a_1<\cdots<a_n<a_{n+1}=1 de [0,1] telle que la restriction de f à chaque intervalle ]a_i,a_{i+1}[ se prolonge en une fonction de classe \mathcal{C}^1 sur [a_i,a_{i+1}] et que f est continue sur [0,1].


J'imagine qu'ici tu as voulu dire:
i.e. qu'il existe une subdivision 0=a_0<a_1<\cdots<a_n<a_{n+1}=1 de [0,1] telle que la restriction de \gamma à chaque intervalle ]a_i,a_{i+1}[ se prolonge en une fonction de classe \mathcal{C}^1 sur [a_i,a_{i+1}] et que \gamma est continue sur [0,1].

Ok, sauf que je ne vois pas pourquoi \gamma est continue sur [0,1].

Citation :
Dans ce cas, l'application t\mapsto \dfrac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z} est continue par morceaux sur [0,1]


Je suis d'accord.

Citation :
et par conséquent l'application h(s)=\int_0^s \dfrac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}dt est continue et seulement de classe \mathcal C^1 par morceaux sur [0,1].


Ok elle est continue sur son domaine de définition et continue par morceaux sur [0,1].

Citation :
Pour t'en convaincre observe l'application t\mapsto E(2t) sur [0,1] où E(\cdot) désigne la fonction partie entière: elle n'est pas continue mais seulement continue par morceaux et x\mapsto \int_0^xE(2t)dt est bien continue mais n'est pas dérivable en x=\frac{1}{2}.


D'accord ! J'ai attaché deux images au post pour l'illustrer.

Citation :
En tout point de continuité de t\mapsto \dfrac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}, l'application h est alors dérivable et sa dérivée vaut bien h'(s)=\dfrac{\gamma'(s)}{\gamma(s)-z} (tu peux le voir simplement avec la relation de Chasles et le théorème fondamental de l'analyse.)

Ensuite, si tu poses f:s\mapsto (\gamma (s)-z)exp(-h(s)), cette application est définie sur [0,1], continue et de classe \mathcal C^1 par morceaux par opérations élémentaires.
Comme tu l'a constaté, en tout point s\in [0,1] où f est dérivable, on trouve f'(s)=0. Cela signifie que si a_0=0<a_1<\cdots<a_n<a_{n+1}=1 est une subdivision adaptée à f i.e. que la restriction de f à chaque intervalle ]a_i,a_{i+1}[ se prolonge en une fonction de classe \mathcal{C}^1 sur [a_i,a_{i+1}] alors f est constante sur chacun des intervalles ]a_i,a_{i+1}[.
Par continuité, elle est obligatoirement constante sur [a_i,a_{i+1}] puis fatalement sur [0,1].


Ok !

Merci beaucoup pour ton aide !

En ce qui concerne la partie (iii): Je ne comprends pas comment le professeur trouve que |\dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \dfrac{d\zeta}{\zeta -z}| \leq \dfrac{|\gamma|}{2\pi dist(z,Im \gamma)}.

Formule intégrale de Cauchy - Indice

Posté par
Narhmre : Formule intégrale de Cauchy - Indice 20-08-14 à 10:25

Oui j'ai écrit f à la place de \gamma au début de mon message.
Mais \gamma est continue sur [0,1] tout simplement par définition, comme tu me le confirmes dans ton dernier message. Un chemin est par définition une application continue sur son ensemble de définition ensuite pour pouvoir donner une sens à l'intégrale curviligne on demande en plus qu'un chemin soit \mathcal C^1 par morceaux sur ensemble de définition.

En ce qui concerne le point (iii), il ne s'agit que de simple majoration :
\left|\dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \dfrac{d\zeta}{\zeta -z}\right| = \left|\dfrac{1}{2i\pi}\int_0^1\dfrac{\gamma'(t)dt}{\gamma(t)-z}\right|\leq \dfrac{1}{2\pi}\int_0^1 \left|\dfrac{\gamma'(t)}{\gamma(t)-z}\right|dt.

Or la fonction t\mapsto |\gamma(t)-z|=d(\gamma(t),z) est continue sur [0,1] comme composée de fonctions continues. Par conséquent elle atteint son minimum qui est précisément \inf_{t\in [0,1]} d(\gamma(t),z)=d(\text{Im}(\gamma),z).
(Fais un dessin pour t'en convaincre, c'est très visuel).
Donc \forall t\in [0,1], |\gamma(t)-z|\geq d(\text{Im}(\gamma),z).

Puis \left|\dfrac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \dfrac{d\zeta}{\zeta -z}\right| \leq \dfrac{1}{2\pi\cdot d(\text{Im}(\gamma),z)}\int_0^1 \left|\gamma'(t)\right|dt = \dfrac{\ell(\gamma)}{2\pi \cdot d(\text{Im}(\gamma),z)} .

Posté par
kurokare : Formule intégrale de Cauchy - Indice 20-08-14 à 15:43

Citation :
Mais \gamma est continue sur [0,1] tout simplement par définition, comme tu me le confirmes dans ton dernier message.


J'ai lu trop vite, j'ai cru que tu disais qu'un chemin était une application C^1 par morceaux seulement. Mais évidemment tu as raison, je suis allé revoir le premier chapitre de mon cours et je n'avais pas remarqué qu'en fait un chemin est une courbe de classe C^1 par morceaux, un chemin est donc continu en plus d'être C^1 par morceaux.

Ok pour le reste, c'est très clair et détaillé, merci beaucoup pour ton aide !
Bonne journée

Posté par
Narhmre : Formule intégrale de Cauchy - Indice 20-08-14 à 15:59

De rien, bonne journée à toi aussi

Posté par
kurokare : Formule intégrale de Cauchy - Indice 20-08-14 à 15:59

Merci


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