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Formule sommatoire de Poisson

Posté par
robby3 02-06-08 à 19:18

Bonsoir tout le monde,
j'ai un théoreme que je ne comprend pas...

Citation :
f^.\in L_C^1(R,dt) tel que \hat{f}\in L_C^1(R,d\omega) et f son unique représentant continu
La série bilatere [\hat{f}(.-2k\pi)]_{k\in Z} est Absolument convergente dans L_C^1([-\pi,\pi],d\theta) et sa somme définit un élément \psi^.\in L_C^1([-\pi,\pi],d\theta) que l'on suppose avoir un représentant continu en \theta=0 et présentant des dérivées à droites et à gauche en ce point.
Alors \lim_{N\to +\infty} \Bigsum_{k=-N}^{N}f(k)=\lim_{N\to +\infty} \Bigsum_{-N}^N \hat{f}(2k\pi) \in C.


en fait je ne comprend pas son application...
et je voudrais savoir si c'est le meme théoreme que celui de Wikipédia?


Merci d'avance de votre aide.

Posté par
robby3re : Formule sommatoire de Poisson 03-06-08 à 11:24

quelqu'un dans les parages

Posté par
robby3re : Formule sommatoire de Poisson 04-06-08 à 13:38

bon je fais remonter au cas ou quelqu'un aurait une illumination sur mon sujet...

Posté par
robby3re : Formule sommatoire de Poisson 05-06-08 à 15:42

désépéremment

Posté par
Ksilverre : Formule sommatoire de Poisson 05-06-08 à 23:45

Salut !

que veux tu dire par "son application" ?

sinon, oui c'est globalement la meme formule que celle de Wikipédia, mais présenté de facon un peu différente...

Posté par
robby3re : Formule sommatoire de Poisson 06-06-08 à 00:09

salut Ksilver...
je voudrais avoir un exemple de comment on s'en sert

Posté par
robby3re : Formule sommatoire de Poisson 08-06-08 à 18:15

nobody?

Posté par
robby3re : Formule sommatoire de Poisson 24-06-08 à 20:02

quelqu'un?

Posté par
Rodrigore : Formule sommatoire de Poisson 24-06-08 à 21:22

Bonsoir,
Ben oui c'est la formule somatoire de poisson qui a mille applications en arithmétique par exemple...

Posté par
robby3re : Formule sommatoire de Poisson 24-06-08 à 21:25

Salut Rodrigo,
mais concretement as tu un exemple d'application?
je comprend pas l'interet de cette propriété,ni comment on l'appliques...en fait je la connais et c'est tout!

Posté par
Rodrigore : Formule sommatoire de Poisson 24-06-08 à 21:29

Ah ben...ouvre une cours de théorie des nombres

Sinon pus prosaïquement tu peux t'en servir dans pas mal de sommes de gauss et de jacobi, tiens un exemple.

Posté par
robby3re : Formule sommatoire de Poisson 24-06-08 à 21:32

ah oué!
quand meme!!
bon je vais regarder ça plus doucement
Merci bien Rodrigo!

Posté par
robby3re : Formule sommatoire de Poisson 27-06-08 à 11:24

Re,
alors en fait,dans mon cours, suite à cette proposition de la formule sommatoire de poisson,j'ai un exemple mais je comprend ou on applique la formule
Voyez plutot:

On a que la fonction \large f(t)=\frac{exp(-|t|)}{2} a pour spectre la fonction \large \frac{1}{1+\omega^2}.
De meme la fonction \large f(t)=\frac{1}{1+t^2} a pour spectre la fonction \large \hat{f}(\omega)=\pi.exp(-|\omega|)(jusque là,ok,j'ai fait les calculs,pas de soucis)

Ensuite, \large \forall \tau>0 \\ \Bigsum_{k\in Z} \frac{1}{1+k^2\tau^2}=\frac{\pi}{\tau} \Bigsum_{k\in Z} exp(-2\pi|k|/\tau)

on obtient(???)

\large 2\Bigsum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1+k^2\tau^2}+1=\frac{\pi}{\tau}\(2\Bigsum_{k=1}^{\infty} exp(-2k\pi/\tau)-1\)=\frac{\pi}{\tau}.\frac{1-exp(-2\pi/\tau)}{1-exp(-2\pi/\tau)}

c'est un exemple ou la série de droite (géométrique) converge plus vite que celle de gauche(Riemann)
ainsi si on prend \tau >>1
on a que:
\large \frac{2}{\tau^2}\Bigsum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2+\frac{1}{\tau^2}}+1=\frac{\pi}{\tau}.\frac{\tau}{2\pi}\(2+\frac{1}{6}(2\pi/\tau)^2+...\)
et l'on retrouve(???) en mettant les deux memebres sous la forme:

1+\frac{\alpha_1}{\tau^2}+o(\tau^{-2})=1+\frac{\pi^2}{3}.\frac{1}{\tau^2}+o(\tau^{-2})
et on retrouve la valeur de la série des 1/k²...


Voilà, en fait j'aimerais bien qu'on m'explique ou on utilise la formule...avec qui et quoi, pourquoi les hypotheses du théoreme sont vérifiées??
et comment on obtient les résultats.
Merci par avance

Posté par
robby3re : Formule sommatoire de Poisson 27-06-08 à 17:16

Citation :
on obtient(???)

>ça j'ai compris en fait.

Citation :
ainsi si on prend \tau >>1
on a que:

>ça c'est bon aussi

Citation :
et l'on retrouve(???)

>je vois pas trop là?


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